二阶线性差分方程中的根/特征值的讨论

Posted 2020-09-19 TaigaComplex求职中

二阶线性差分方程的齐次解/通解

以下面的二阶线性差分方程为例

$ay_{t+2}+by_{t+1}+cy_t = d$

我们在求该差分方程的齐次解（通解）时，会令等式右边等于0，得到二阶齐次线性差分方程：

$ay_{t+2}+by_{t+1}+cy_t = 0$

并假设

$y_t = A\\omega^t$

把该假设代入上面齐次方程，整理后得到：

$a\\omega^2+b\\omega+c = 0$

这个一元二次方程的根为

$\\omega = \\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

 

 

二阶线性差分方程中的根

$\\omega$是该方程的根（characteristic root），又称为该方程的特征值（eigen value）。此时$\\omega$可以分成三种情况讨论。

 

$b^2-4ac >0 $

此时$\\omega$分别为两个不相同的实数

差分方程的齐次解为：

$y_h(t) = A_1\\omega_1^t+A_2\\omega_2^t$

 

$b^2-4ac = 0$

此时$\\omega$为重根

差分方程的齐次解为：

$y_h(t) = (A_1n+A_2)\\omega^t$

 

$b^2-4ac <0$

此时$\\omega$分别为两个共轭复数

$\\omega = -\\frac{b}{2a} \\pm \\frac{\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = h\\pm iv$

即有：

$\\left\\{\\begin{matrix}
h &= &-\\frac{b}{2a} \\\\
v &= &\\frac{\\sqrt{4ac-b^2}}{2a}
\\end{matrix}\\right.$

差分方程的齐次解为：

$y_h(t) = A_1(h+iv)^t + A_2(h-iv)^t$

 

该共轭的根还可以从极坐标方面进行讨论

$h\\pm iv = R(cos \\theta \\pm isin\\theta)$

其中

$R = \\sqrt{h^2+v^2} = \\sqrt{\\left| \\frac{c}{a} \\right|}$

即R是一个固定的实数。

 

差分方程的齐次解为

$\\begin{align*}
y_h(t)
&= A_1R^t(cos\\theta + isin\\theta)^t + A_2R^t(cos\\theta-isin\\theta)^t \\\\
&= A_1R^t(cos\\theta t+isin\\theta t)+A_2R^t(cos\\theta t-isin\\theta t)  \\qquad de\\ Moivre\'s\\ theorem\\\\
&=\\left|\\frac{c}{a}\\right|^{\\frac{t}{2}}(A_1(cos\\theta t+isin\\theta t)+A_2(cos\\theta t-isin\\theta t)) \\\\
&=\\left|\\frac{c}{a}\\right|^{\\frac{t}{2}}(B_1cos\\theta t+B_2sin\\theta t) \\qquad \\left\\{\\begin{matrix}
B_1 &= A_1+A_2\\\\
B_2 &= (A_1-A_2)i
\\end{matrix}\\right.
\\end{align*}$