hdu 6021 MG loves string

Posted 2020-09-18 ZefengYao

                                                                  MG loves string

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Problem Description

MG is a busy boy. And today he‘s burying himself in such a problem:

For a length of N , a random string made of lowercase letters, every time when it transforms, all the character i will turn into a[i] .

MG states that the a[i] consists of a permutation .

Now MG wants to know the expected steps the random string transforms to its own.

It‘s obvious that the expected steps X will be a decimal number.
You should output X?26Nmod 1000000007 .

 

 

Input

The first line is an integer T which indicates the case number.(1<=T<=10 )

And as for each case, there are 1 integer  in the first line which indicate the length of random string(1<=N<=1000000000 ).

Then there are 26 lowercase letters a[i] in the next line.

 

 

Output

As for each case, you need to output a single line.

It‘s obvious that the expected steps X will be a decimal number.
You should output X?26Nmod 1000000007 .

 

 

Sample Input

2

2

abcdefghijklmnpqrstuvwxyzo

1

abcdefghijklmnopqrstuvwxyz

 

 

Sample Output

5956

26

 

题意：给定26个小写字母x1,x2,...,x26的字符串作为“密码表”，26个密码分别对应a~z26个小写字母,一个字母进行一次变换，意味着该字母变换成对应的密码，譬如字母b下一次变换应该变成x2，字母x2会变换成x2对应的密码等等(可以知道，经过有限次的变换，每个字母最终还是会变换回来的)。

现在给定一个随机字符串的长度N，并且字符串是由任意的小写字母组成，且该字符串经过有限次变换还是会变换到自身，求任意字符串的变换期望次数。

思路：求期望次数，首先想到的是穷举每一种长度为N的小写字符串(一共26^N种可能)，对于每次得到的字符串，求出变换到自身的变换次数，之后求平均。当然这样的效率是极其低下的。每个字母经过有限次变换都是可以变换到自身的，将这个过程中所有经过变换得到的字母组成一个圈，那么这个圈中每一个字母都会变换相同的次数之后变换到自身），这样一来，所有的26个字母就可以被挑拣成几个不同的圈，情况最坏的时候每个字母分别成为一个圈，一共26个圈，有点多，现在继续考虑能否将长度一样的圈挑出来成为一个group，那么这样一共会有多少group呢，最坏的情况，圈的长度从1开始变化，1+2+3+4+5+6+7=28>26,也就是说绝对不可能产生七个长度不同的group，最多6个，这么一来范围就小多了。

现在考虑长度相同的每一个group的性质，可以知道每一个group中的每个字母变换到自身的次数都相同。

那么现在长度为N的随机字符串的每一个位置，都可以由用每一个group中任意一个字符来填充。穷举group的组合情况，对于每一种group的组合情况，随机字符串中的每一位都由这些group中的字符来填充(因为每一个group都至少得派出一个字符来填充随机字符串，所以每一种group的组合情况中group的数量必须小于等于随机串长度N，否则直接排除在这种group的组合)，那么由这些group中的字符组成随机串对期望变换次数的贡献=这些group构成的字符串的变换次数change_time*这些group构成的字符串的数量number/(26^N);

其中，change_time=组合中每一个group长度的最小公倍。

p=number/(26^N)则可以由容斥原理得到，举个简单的例子，设Pabc=长度为n的随机串用group a,b,c或其一或其二中字母组成的概率，显然Pabc=((size(a)+size(b)+size(c))/26)^N.那么随机串由group a,b,c组成的概率P=Pabc-Pab-Pac-Pbc+pa+pb+pc;

穷举group的组合情况并累加贡献即可得到最终期望。

AC代码：

#define _CRT_SECURE_NO_DEPRECATE
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N_MAX = 1000000000 + 2,INF= 1000000007;
int N;
string s;
vector<pair<int,int> >loop;//圈的大小<->圈的个数

ll gcd(ll a,ll b) {
    if (b == 0)return a;
    return gcd(b, a%b);
}

ll lcm(ll a,ll b) {
    return a / gcd(a, b)*b;
}

void cal_loop() {
    loop.clear();
    int change[26],vis[26];
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for (int i = 0; i < s.size();i++) {
        change[i] = s[i] - ‘a‘;
    }
    map<int, int>m;
    for (int i = 0; i < 26;i++) {
        
        if (vis[i])continue;
        vis[i] = true;
        int num = 1;
        int k = change[i];//k代表不断变化的字母
        while (i != k) {
            vis[k] = true;
            num++;//该圈的元素个数加1
            k = change[k];//!!!!!顺序
        }
        m[num]++;
    }
    for (map<int, int>::iterator it = m.begin(); it != m.end();it++) {
        loop.push_back(*it);
    }
}

ll mod_pow(ll x,ll n) {//快速幂运算
    ll res = 1;
    while (n>0) {
        if (n & 1)res = res*x%INF;
        x = x*x%INF;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

ll R_C(vector<int>&loop,int N) {//容斥原理，求由这些圈中的元素组成的长度为N的字符串的数量
    ll permute = 1 << (loop.size());
    ll ans = 0;
    for (int i = 0; i < permute;i++) {
        int num = 0;
        int sum = 0;
        int sign=-1;
        for (int j = 0; j < loop.size(); j++) {
            if (i&(1 << j)) {
                num++;//num记录利用到的圈的个数
                sum += loop[j];//利用到的字符的总个数
            }
        }    
            if (num % 2 == loop.size() % 2)//!!!!!!!!
                sign = 1;
            ans =(ans+((sign*mod_pow(sum, N))%INF+INF)%INF)%INF;
    }
    return ans;
}

ll solve(int N) {
    cal_loop();
    vector<int>vec;
    ll ans = 0;
    for (int i = 0; i < (1<<loop.size());i++) {
        ll change_time=1;
        vec.clear();
        for (int j = 0; j < loop.size();j++) {
            if (i&(1 << j)) {
                vec.push_back(loop[j].first*loop[j].second);
                change_time = lcm(change_time, loop[j].first);
            }
        }
        if (vec.size() > N)continue;//挑选出来的圈的个数不能超过字符串长度
    ll number = R_C(vec, N);
    ans = (ans + change_time*number) % INF;
    }
    return ans;
}


int main() {
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while (T--) {
        scanf("%d",&N);
        cin >> s;
        printf("%lld\n",solve(N));
    }
    return 0;
}