Bzoj3583 杰杰的女性朋友

Posted 2020-09-18 SilverNebula

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Description

　　杰杰是魔法界的一名传奇人物。他对魔法具有深刻的洞察力，惊人的领悟力，以及令人叹为观止的创造力。自从他从事魔法竞赛以来，短短几年时间，就已经成为世界公认的实力最强的魔法选手之一。更让人惊叹的是，他几乎没有借助外界力量，完全凭借自己的努力达到了普通人难以企及的高度。在最近的世界魔法奥林匹克竞赛上，他使用高超的魔法本领，一路过关斩将，在最后时刻一举击败了前冠军“旅行者”，获得了魔法界最高的荣耀：女神奖杯！女神奖杯可不是一个普通的奖杯，她能够帮杰杰实现一个愿望。
　　杰杰本着实事求是的态度，审时度势，向女神奖杯提出了自己的愿望：想要一个女性朋友。

　　杰杰的愿望实现了，可是女性朋友却和他不在一个城市。杰杰想要知道：如果要到达女性朋友的所在城市，有多少种方案供他选择？
　　杰杰所在的世界有n个城市，从1到n进行编号。任意两个城市都通过有向道路连接。每个城市u有k个入点权：in[u][1],in[u][2]...in[u][k]，有k个出点权：ou[u][1],ou[u][2]...ou[u][k]。对于任意两个城市(u,v)（u可以等于v），u到v的道路条数为(ou[u][1]*in[v][1]+ou[u][2]*in[v][2]+...+ou[u][k]*in[v][k])条。杰杰有m次询问，每次询问由三元组(u,v,d)构成，询问从u城市通过不超过d条道路到达v城市的方案数。
　　为了温柔的杰杰和他的女性朋友的美好未来，帮助他解答这个问题吧。

Input

　　第一行读入两个正整数n，k，含义如题所示。接下来n行每行2k个整数，第i行代表第i个城市，前k个整数代表i号城市的出点权，后k个整数代表i号城市的入点权：
　　ou[i][1],ou[i][2],…,ou[i][k],in[i][1],in[i][2],…,in[i][k]
　　接下来一个整数m，表示m个询问。
　　接下来m行，每行三个整数:u,v,d，询问从u城市通过不超过d条道路到达v城市的方案数。
　　将每个方案所经过的道路，按顺序写成一个序列（序列可以为空）。两个方案不同，当且仅当他们的道路序列不完全相同。

 

Output

　　对于每个询问，输出一个方案数。由于答案可能太大，输出其除以1000000007后的余数。

Sample Input

5 2
2 5 4 3
7 9 2 4
0 1 5 2
6 3 9 2
2147483647 1000000001 233522 788488
10
1 1 0
2 2 1
2 4 5
4 3 10
3 4 50
1 5 1000
3 5 1000000000
1 2 500000000
4 5 2147483647
3 1 2147483647

Sample Output

1
51
170107227
271772358
34562176
890241289
8516097
383966304
432287042
326522835

HINT

 

数据规模和约定

n<=1000

k<=20

m<=50

　　保证1<=u, v<=n, 其它所有读入为不超过2147483647的非负整数

 

Source

By 佚名提供

 

数学问题 矩阵乘法 脑洞题 卡常数

将In矩阵转置，原来的求和变成了矩阵乘法的形式。

下面的In是原In的转置矩阵

$ (Out*In)^d $ 这是一个n*n的矩阵，看上去肯定TLE得飞起

我们换一个表示方法，$ (O*I) * (O*I) * (O*I)... $这么一串，等于$ O * (I * O)^(d-1) * I $，里面那个是m*m的矩阵，算起来无压力。

对于一个询问u和v，我们只需要先算出$ (IO)^(d-1) $，然后用O里u对应的那一行乘以中间这个矩阵，再乘以I里v对应的那一列，即可出解……吗？并不

注意到题目里问的是不多于d步，我们刚才算的是恰好d步的情况。也就是说中间要乘的其实是 (IO)^1 + (IO)^2 + (IO)^3 + ... +(IO)^d-1

这里需要用到POJ3233 的等比矩阵求和的姿势。

现在真的可以出解了

 

↓calc里那个快速幂形式的等比矩阵求和是别处找来的板子，有空的时候测试一下它和递归哪个快233

  1 #include<iostream>
  2 #include<algorithm>
  3 #include<cstring>
  4 #include<cstdio>
  5 #include<cmath>
  6 #define LL long long
  7 using namespace std;
  8 const int mod=1e9+7;
  9 int read(){
 10     int x=0,f=1;char ch=getchar();
 11     while(ch<‘0‘ || ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
 12     while(ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘){x=x*10-‘0‘+ch;ch=getchar();}
 13     return x*f;
 14 }
 15 int sz;
 16 struct Mat{
 17     LL x[23][23];
 18     void init(int sz){
 19         memset(x,0,sizeof x);
 20         for(int i=1;i<=sz;i++)x[i][i]=1;
 21         return;
 22     }
 23     Mat operator * (const Mat &b){
 24         Mat res;
 25         for(int i=1;i<=sz;i++)
 26             for(int j=1;j<=sz;j++){
 27                 res.x[i][j]=0;
 28                 for(int k=1;k<=sz;k++){
 29                     res.x[i][j]+=x[i][k]*b.x[k][j]%mod;
 30                     if(res.x[i][j]>mod)res.x[i][j]-=mod;
 31                 }
 32             }
 33         return res;
 34     }
 35 }mp,A,B,E;
 36 inline void mat_add(Mat &a,const Mat &b){
 37     for(int i=1;i<=sz;i++)
 38         for(int j=1;j<=sz;j++){
 39             a.x[i][j]+=b.x[i][j];
 40             if(a.x[i][j]>=mod)a.x[i][j]-=mod;
 41         }
 42     return;
 43 }
 44 int n,m,K;
 45 LL in[1001][22],out[1001][22];
 46 LL IT[22][1001];
 47 LL ans[22];
 48 LL ANS=0;
 49 void calc(int d){
 50     if(d<0){
 51         memset(A.x,0,sizeof A.x);
 52         return;
 53     }
 54     int i,j,k;
 55     A.init(K);B.init(K);
 56     Mat bas=mp,tmp=mp;
 57     //
 58     while(d){
 59         if(d&1){
 60             mat_add(A,tmp*B);
 61             B=B*bas;
 62         }
 63         Mat C=bas;mat_add(C,E);
 64         tmp=tmp*C;
 65         bas=bas*bas;
 66         d>>=1;
 67     }
 68     //
 69     return;
 70 }
 71 int main(){
 72     int i,j;
 73     n=read();K=read();
 74     for(i=1;i<=n;i++){
 75         for(j=1;j<=K;j++)out[i][j]=read();
 76         for(j=1;j<=K;j++)in[i][j]=read();
 77     }
 78     for(i=1;i<=n;i++)
 79       for(j=1;j<=K;j++)
 80           IT[j][i]=in[i][j];
 81     for(i=1;i<=K;i++)
 82         for(j=1;j<=K;j++)
 83             for(int k=1;k<=n;k++)
 84                 mp.x[i][j]=(mp.x[i][j]+IT[i][k]*out[k][j]%mod)%mod;
 85     E.init(K);
 86     //
 87     sz=K;
 88     m=read();
 89     int u,v,d;
 90     while(m--){
 91         u=read();v=read();d=read();
 92         calc(d-1);
 93 /*        for(i=1;i<=sz;i++){
 94             for(j=1;j<=sz;j++){
 95                 printf("%d %d :%lld\n",i,j,A.x[i][j]);
 96             }
 97             puts("");
 98         }*/
 99         ANS=0;
100         for(i=1;i<=sz;i++)ans[i]=0;
101         for(i=1;i<=sz;i++)
102             for(j=1;j<=sz;j++)
103                 ans[j]=((LL)ans[j]+out[u][i]*A.x[i][j]%mod)%mod;
104         for(i=1;i<=sz;i++)(ANS+=ans[i]*IT[i][v]%mod)%=mod;
105         if(u==v)ANS=(ANS+1)%mod;
106         if(ANS<0)ANS+=mod;
107         printf("%lld\n",ANS);
108     }
109     return 0;
110 }