Halum操作-UVA 11478

Posted 2020-09-17 大米饼

·英文题，述大意：
      输入有向图一个(什么边的端点啊，边权啊)。每次可以选择一个节点和一个整数，然后把这个结点的出边边权加上该整数，入边边权减去该整数，目标：使得所有边的最小值非负且尽量大。

·分析：

      修改结点周围的边权，题目中既没有限制次数，也没有规定在意先后顺序，这启示我们，每一个操作的效果是可以叠加的(同时就不分先后),所以可以将题目简化为：每一个节点只用一个整数操作一次。

      差分约束的思想运用：如果我们设num(u)表示给节点u施加的那个整数值。则对于有向边(u,v)(权值为W),那么最终该边的边权为：

        W‘=W+num(u)-num(v)

读题目最后一句话，可以体会到这是一个美妙的二分。如果当前二分的值是X,表示最小边权。那么对于每一条边，都满足这个式子：

        W+num(u)-num(v)>=X

=>   num(v)-num(u)<=W-X

由于W-X在此时为定值，设P=W-X那么这些不等式都可以统一描述为：左边小于等于右边，左边两个节点信息之差，右边是一个定值。

扭一扭，泡一泡：那么原式为：num(v)<=num(u)+P

·然后这和最短路的if()中的东西是一样的，所以用这些元素依葫芦画瓢地建图(奥，这道题是帮你建好了的……)如果当前二分的X不符合条件，会出现什么情况————出现负环。

·为什么是出现负环就代表所有不等式不能全部成立呢？