轻松学习RSA加密算法原理

Posted 2020-09-15

 

以前也接触过RSA加密算法，感觉这个东西太神秘了，是数学家的事，和我无关。但是，看了很多关于RSA加密算法原理的资料之后，我发现其实原理并不是我们想象中那么复杂，弄懂之后发现原来就只是这样而已..

　　学过算法的朋友都知道，计算机中的算法其实就是数学运算。所以，再讲解RSA加密算法之前，有必要了解一下一些必备的数学知识。我们就从数学知识开始讲解。

必备数学知识

　　RSA加密算法中，只用到素数、互质数、指数运算、模运算等几个简单的数学知识。所以，我们也需要了解这几个概念即可。

素数

　　素数又称质数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。这个概念，我们在上初中，甚至小学的时候都学过了，这里就不再过多解释了。

互质数

　　百度百科上的解释是：公因数只有1的两个数，叫做互质数。；维基百科上的解释是：互质，又称互素。若N个整数的最大公因子是1，则称这N个整数互质。

　　常见的互质数判断方法主要有以下几种：

1. 两个不同的质数一定是互质数。例如，2与7、13与19。
2. 一个质数，另一个不为它的倍数，这两个数为互质数。例如，3与10、5与 26。
3. 相邻的两个自然数是互质数。如 15与 16。
4. 相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51。
5. 较大数是质数的两个数是互质数。如97与88。
6. 小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。例如 7和 16。
7. 2和任何奇数是互质数。例如2和87。
8. 1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。如1和9908。
9. 辗转相除法。

指数运算

　　指数运算又称乘方计算，计算结果称为幂。n^m指将n自乘m次。把n^m看作乘方的结果，叫做”n的m次幂”或”n的m次方”。其中，n称为“底数”，m称为“指数”。

模运算

　　模运算即求余运算。“模”是“Mod”的音译。和模运算紧密相关的一个概念是“同余”。数学上，当两个整数除以同一个正整数，若得相同余数，则二整数同余。

　　两个整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作: a ≡ b (mod m)；读作：a同余于b模m，或者，a与b关于模m同余。例如：26 ≡ 14 (mod 12)。

RSA加密算法

RSA加密算法简史

　　RSA是1977年由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。当时他们三人都在麻省理工学院工作。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。

公钥与密钥的产生

　　假设Alice想要通过一个不可靠的媒体接收Bob的一条私人讯息。她可以用以下的方式来产生一个公钥和一个私钥：

1. 随意选择两个大的质数p和q，p不等于q，计算N=pq。
2. 根据欧拉函数，求得r = (p-1)(q-1)
3. 选择一个小于 r 的整数 e，求得 e 关于模 r 的模反元素，命名为d。（模反元素存在，当且仅当e与r互质）
4. 将 p 和 q 的记录销毁。

(N,e)是公钥，(N,d)是私钥。Alice将她的公钥(N,e)传给Bob，而将她的私钥(N,d)藏起来。

加密消息

　　假设Bob想给Alice送一个消息m，他知道Alice产生的N和e。他使用起先与Alice约好的格式将m转换为一个小于N的整数n，比如他可以将每一个字转换为这个字的Unicode码，然后将这些数字连在一起组成一个数字。假如他的信息非常长的话，他可以将这个信息分为几段，然后将每一段转换为n。用下面这个公式他可以将n加密为c：

　　n^e ≡ c (mod N)

计算c并不复杂。Bob算出c后就可以将它传递给Alice。

解密消息

Alice得到Bob的消息c后就可以利用她的密钥d来解码。她可以用以下这个公式来将c转换为n：

　　c^d ≡ n (mod N)

得到n后，她可以将原来的信息m重新复原。

解码的原理是：

　　c^d ≡ n ^e·d(mod N)

以及ed ≡ 1 (mod p-1)和ed ≡ 1 (mod q-1)。由费马小定理可证明（因为p和q是质数）

　　n ^e·d ≡ n (mod p) 　　和 　n ^e·d ≡ n (mod q)

这说明（因为p和q是不同的质数，所以p和q互质）

　　n ^e·d ≡ n (mod pq)

签名消息

　　RSA也可以用来为一个消息署名。假如甲想给乙传递一个署名的消息的话，那么她可以为她的消息计算一个散列值(Message digest)，然后用她的密钥(private key)加密这个散列值并将这个“署名”加在消息的后面。这个消息只有用她的公钥才能被解密。乙获得这个消息后可以用甲的公钥解密这个散列值，然后将这个数据与他自己为这个消息计算的散列值相比较。假如两者相符的话，那么他就可以知道发信人持有甲的密钥，以及这个消息在传播路径上没有被篡改过。

编程实践

　　下面，开始我们的重点环节：编程实践。在开始编程前，我们通过计算，来确定公钥和密钥。

计算公钥和密钥

1. 假设p = 3、q = 11（p，q都是素数即可。），则N = pq = 33；
2. r = (p-1)(q-1) = (3-1)(11-1) = 20；
3. 根据模反元素的计算公式，我们可以得出，e·d ≡ 1 (mod 20),即e·d = 20n+1 (n为正整数)；我们假设n=1，则e·d = 21。e、d为正整数，并且e与r互质，则e = 3，d = 7。（两个数交换一下也可以。）

　　到这里，公钥和密钥已经确定。公钥为(N, e) = (33, 3)，密钥为(N, d) = (33, 7)。

 

编程实现

 

　　下面我们使用Java来实现一下加密和解密的过程。具体代码如下：

RSA算法实现：

[java] view plaincopy

 

 

1. <span style="font-size:14px;">package security.rsa;  
2.   
3. public class RSA {  
4.       
5.     /** 
6.      *  加密、解密算法 
7.      * @param key 公钥或密钥 
8.      * @param message 数据 
9.      * @return 
10.      */  
11.     public static long rsa(int baseNum, int key, long message){  
12.         if(baseNum < 1 || key < 1){  
13.             return 0L;  
14.         }  
15.         //加密或者解密之后的数据  
16.         long rsaMessage = 0L;  
17.           
18.         //加密核心算法  
19.         rsaMessage = Math.round(Math.pow(message, key)) % baseNum;  
20.         return rsaMessage;  
21.     }  
22.       
23.       
24.       
25.     public static void main(String[] args){  
26.         //基数  
27.         int baseNum = 3 * 11;  
28.         //公钥  
29.         int keyE = 3;  
30.         //密钥  
31.         int keyD = 7;  
32.         //未加密的数据  
33.         long msg = 24L;  
34.         //加密后的数据  
35.         long encodeMsg = rsa(baseNum, keyE, msg);  
36.         //解密后的数据  
37.         long decodeMsg = rsa(baseNum, keyD, encodeMsg);  
38.           
39.         System.out.println("加密前：" + msg);  
40.         System.out.println("加密后：" + encodeMsg);  
41.         System.out.println("解密后：" + decodeMsg);  
42.           
43.     }  
44.     </span>  
45.       
46. }  

RSA算法结果：

加密前：24
加密后：30
解密后：24

（看程序最清楚了，对于要加密的数字m, m^e%N=c, c就是加密之后的密文。c^d%N=m, 就能解密得到m）

 

RSA加密算法的安全性

 

　　当p和q是一个大素数的时候，从它们的积pq去分解因子p和q，这是一个公认的数学难题。然而，虽然RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。

　　1994年彼得·秀尔（Peter Shor）证明一台量子计算机可以在多项式时间内进行因数分解。假如量子计算机有朝一日可以成为一种可行的技术的话，那么秀尔的算法可以淘汰RSA和相关的衍生算法。（即依赖于分解大整数困难性的加密算法）

　　另外，假如N的长度小于或等于256位，那么用一台个人电脑在几个小时内就可以分解它的因子了。1999年，数百台电脑合作分解了一个512位长的N。1997年后开发的系统，用户应使用1024位密钥，证书认证机构应用2048位或以上。

RSA加密算法的缺点

　　虽然RSA加密算法作为目前最优秀的公钥方案之一，在发表三十多年的时间里，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受。但是，也不是说RSA没有任何缺点。由于没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度的等价性。所以，RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何。在实践上，RSA也有一些缺点：

1. 产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密；
2. 分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，。

3. 算法基本思路：

   1.公钥与私钥的生成：

   (1)随机挑选两个大质数 p 和 q，构造N = p*q；

   (2)计算欧拉函数φ(N) = (p-1) * (q-1)；

   (3)随机挑选e，使得gcd(e, φ(N)) = 1，即 e 与 φ(N) 互素；

   (4)计算d，使得 e*d ≡ 1 (mod φ(N))，即d 是e 的乘法逆元。

   此时，公钥为（e, N），私钥为（d, N），公钥公开，私钥自己保管。

   2.加密信息：

   (1)待加密信息（明文）为 M，M < N；（因为要做模运算，若M大于N，则后面的运算不会成立，因此当信息比N要大时，应该分块加密）

   (2)密文C = M^e mod N

   (3)解密C^d mod N = (M^e)^d mod N = M^d*e mod N ；

   要理解为什么能解密？要用到欧拉定理（其实是费马小定理的推广）a^φ(n) ≡ 1 (mod n)，再推广：a^φ(n)*k ≡ 1 (mod n)，得：a^φ(n)*k+1 ≡ a (mod n)

   注意到 e*d ≡ 1 mod φ(N)，即：e*d = 1 + k*φ(N)。

   因此，M^d*e mod N = M^{1 + k*φ(N)} mod N = M

   简单来说，别人用我的公钥加密信息发给我，然后我用私钥解密。

   3.数字签名：

   (1)密文C = M^d mod N

   (2)解密M = C^e mod N = (M^d)^e mod N = M^d*e mod N  = M ；（原理同上）

   简单来说，我用自己的密钥加密签名，别人用我的公钥解密可以看到这是我的签名。注意，这个不具有隐私性，即任何人都可以解密此签名。

    

   算法的安全性：基于大整数N难以分解出p和q，构造φ(N)；或由N直接构造φ(N)同样难。

    

   算法的实现：

   1.快速幂取模；http://www.cnblogs.com/7hat/p/3398394.html

   2.素性测试；http://www.cnblogs.com/7hat/p/3400831.html

   3.扩展欧几里得求乘法逆元和最大公约数；http://www.cnblogs.com/7hat/p/3406494.html

   实现代码：

   import random
   
   def fastExpMod(b, e, m):
       """
       e = e0*(2^0) + e1*(2^1) + e2*(2^2) + ... + en * (2^n)
   
       b^e = b^(e0*(2^0) + e1*(2^1) + e2*(2^2) + ... + en * (2^n))
           = b^(e0*(2^0)) * b^(e1*(2^1)) * b^(e2*(2^2)) * ... * b^(en*(2^n)) 
   
       b^e mod m = ((b^(e0*(2^0)) mod m) * (b^(e1*(2^1)) mod m) * (b^(e2*(2^2)) mod m) * ... * (b^(en*(2^n)) mod m) mod m
       """
       result = 1
       while e != 0:
           if (e&1) == 1:
               # ei = 1, then mul
               result = (result * b) % m
           e >>= 1
           # b, b^2, b^4, b^8, ... , b^(2^n)
           b = (b*b) % m
       return result
   
   def primeTest(n):
       q = n - 1
       k = 0
       #Find k, q, satisfied 2^k * q = n - 1
       while q % 2 == 0:
           k += 1;
           q /= 2
       a = random.randint(2, n-2);
       #If a^q mod n= 1, n maybe is a prime number
       if fastExpMod(a, q, n) == 1:
           return "inconclusive"
       #If there exists j satisfy a ^ ((2 ^ j) * q) mod n == n-1, n maybe is a prime number
       for j in range(0, k):
           if fastExpMod(a, (2**j)*q, n) == n - 1:
               return "inconclusive"
       #a is not a prime number
       return "composite"
   
   def findPrime(halfkeyLength):
       while True:
           #Select a random number n 
           n = random.randint(0, 1<<halfkeyLength)
           if n % 2 != 0:
               found = True
               #If n satisfy primeTest 10 times, then n should be a prime number
               for i in range(0, 10):
                   if primeTest(n) == "composite":
                       found = False
                       break
               if found:
                   return n
   
   def extendedGCD(a, b):
       #a*xi + b*yi = ri
       if b == 0:
           return (1, 0, a)
       #a*x1 + b*y1 = a
       x1 = 1
       y1 = 0
       #a*x2 + b*y2 = b
       x2 = 0
       y2 = 1
       while b != 0:
           q = a / b
           #ri = r(i-2) % r(i-1)
           r = a % b
           a = b
           b = r
           #xi = x(i-2) - q*x(i-1)
           x = x1 - q*x2
           x1 = x2
           x2 = x
           #yi = y(i-2) - q*y(i-1)
           y = y1 - q*y2
           y1 = y2
           y2 = y
       return(x1, y1, a)
   
   def selectE(fn, halfkeyLength):
       while True:
           #e and fn are relatively prime
           e = random.randint(0, 1<<halfkeyLength)
           (x, y, r) = extendedGCD(e, fn)
           if r == 1:
               return e
   
   def computeD(fn, e):
       (x, y, r) = extendedGCD(fn, e)
       #y maybe < 0, so convert it 
       if y < 0:
           return fn + y
       return y
   
   def keyGeneration(keyLength):
       #generate public key and private key
       p = findPrime(keyLength/2)
       q = findPrime(keyLength/2)
       n = p * q
       fn = (p-1) * (q-1)
       e = selectE(fn, keyLength/2)
       d = computeD(fn, e)
       return (n, e, d)
   
   def encryption(M, e, n):
       #RSA C = M^e mod n
       return fastExpMod(M, e, n)
   
   def decryption(C, d, n):
       #RSA M = C^d mod n
       return fastExpMod(C, d, n)
   
   
   #Unit Testing
   (n, e, d) = keyGeneration(1024)
   #AES keyLength = 256
   X = random.randint(0, 1<<256)
   C = encryption(X, e, n)
   M = decryption(C, d, n)
   print "PlainText:", X
   print "Encryption of plainText:", C
   print "Decryption of cipherText:", M
   print "The algorithm is correct:", X == M
   
   Python