HDU 5773 The All-purpose Zero（O（nlgn）求LIS）

Posted 2020-09-14 谦谦君子，陌上其华

 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5773

题意：

求LIS，其中的0可以看做任何数。

 

思路：

因为0可以看做任何数，所以我们可以先不管0，先求一遍LIS，最后再加上0的个数就可以了。当然，每个数需要减去它前面0的个数。

还有这题如果用dp求LIS是要超时的，从别人那里学习了更快的求LIS的方法。

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。n
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了
首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1
然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1
接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2
再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2
继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。
第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3
第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了
第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。
最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。
于是我们知道了LIS的长度为5。
!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。
然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！

转自：http://blog.csdn.net/shuangde800/article/details/7474903

原理

 1 #include<iostream>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cstdio>
 5 #include<vector>
 6 #include<stack>
 7 #include<queue>
 8 #include<cmath>
 9 #include<map>
10 using namespace std;
11 
12 const int maxn=100000+5;
13 
14 int a[maxn];
15 int d[maxn];
16 int n;
17 
18 int Search(int x,int left,int right)
19 {
20     while(left<=right)
21     {
22         int mid=left+(right-left+1)/2;
23         if(x<d[mid])  right=mid-1;
24         else left=mid+1;
25     }
26     return left;
27 }
28 
29 int dp(int n)
30 {
31     int len=1;
32     d[1]=a[0];
33     for(int i=1;i<n;i++)
34     {
35         if(a[i]>d[len])
36         {
37             len=len+1;
38             d[len]=a[i];
39         }
40         else
41         {
42             int pos=Search(a[i],1,len);
43             d[pos]=a[i];
44         }
45     }
46     return len;
47 }
48 
49 int main()
50 {
51     //freopen("D:\\input.txt","r",stdin);
52     int T;
53     scanf("%d",&T);
54     for(int kase=1;kase<=T;kase++)
55     {
56         scanf("%d",&n);
57         int num=0;
58         int cnt=0;
59         for(int i=0;i<n;i++)
60         {
61             int x;
62             scanf("%d",&x);
63             if(x==0)  num++;
64             else a[cnt++]=x-num;
65         }
66         if(num==n)  {printf("Case #%d: %d\n",kase,num);continue;}
67         int ans=dp(cnt);
68         printf("Case #%d: %d\n",kase,ans+num);
69     }
70     return 0;
71 }