bzoj4825 [Hnoi2017]单旋

Posted 2020-09-14 wfj_2048

Description

H 国是一个热爱写代码的国家，那里的人们很小去学校学习写各种各样的数据结构。伸展树（splay）是一种数据结构，因为代码好写，功能多，效率高，掌握这种数据结构成为了 H 国的必修技能。有一天，邪恶的“卡”带着他的邪恶的“常数”来企图毁灭 H 国。“卡”给 H 国的人洗脑说，splay 如果写成单旋的，将会更快。“卡”称“单旋 splay”为“spaly”。虽说他说的很没道理，但还是有 H 国的人相信了，小 H 就是其中之一，spaly 马上成为他的信仰。 而 H 国的国王，自然不允许这样的风气蔓延，国王构造了一组数据，数据由 m 个操作构成，他知道这样的数据肯定打垮 spaly，但是国王还有很多很多其他的事情要做，所以统计每个操作所需要的实际代价的任务就交给你啦。

数据中的操作分为五种：

1. 插入操作：向当前非空 spaly 中插入一个关键码为 key 的新孤立节点。插入方法为，先让 key 和根比较，如果 key 比根小，则往左子树走，否则往右子树走，如此反复，直到某个时刻，key 比当前子树根 x 小，而 x 的左子树为空，那就让 key 成为 x 的左孩子； 或者 key 比当前子树根 x 大，而 x 的右子树为空，那就让 key 成为 x 的右孩子。该操作的代价为：插入后，key 的深度。特别地，若树为空，则直接让新节点成为一个单个节点的树。（各节点关键码互不相等。对于“深度”的解释见末尾对 spaly 的描述）。

2. 单旋最小值：将 spaly 中关键码最小的元素 xmin 单旋到根。操作代价为：单旋前 xmin 的深度。（对于单旋操作的解释见末尾对 spaly 的描述）。

3. 单旋最大值：将 spaly 中关键码最大的元素 xmax 单旋到根。操作代价为：单旋前 xmax 的深度。

4. 单旋删除最小值：先执行 2 号操作,然后把根删除。由于 2 号操作之后,根没有左子树,所以直接切断根和右子树的联系即可（具体见样例解释）。 操作代价同 2 号操 作。

5. 单旋删除最大值：先执行 3 号操作,然后把根删除。 操作代价同 3 号操作。

对于不是 H 国的人，你可能需要了解一些 spaly 的知识，才能完成国王的任务：

a. spaly 是一棵二叉树，满足对于任意一个节点 x，它如果有左孩子 lx，那么 lx 的关键码小于 x 的关键码。如果有右孩子 rx，那么 rx 的关键码大于 x 的关键码。

b. 一个节点在 spaly 的深度定义为：从根节点到该节点的路径上一共有多少个节点（包括自己）。

c. 单旋操作是对于一棵树上的节点 x 来说的。一开始,设 f 为 x 在树上的父亲。如果 x 为 f 的左孩子，那么执行 zig(x) 操作（如上图中，左边的树经过 zig(x) 变为了右边的树），否则执行 zag(x) 操作（在上图中，将右边的树经过 zag(f) 就变成了左边的树）。每当执 行一次 zig(x) 或者 zag(x)，x 的深度减小 1，如此反复，直到 x 为根。总之，单旋 x 就是通过反复执行 zig 和 zag 将 x 变为根。

Input

第一行单独一个正整数 m。

接下来 m 行，每行描述一个操作：首先是一个操作编号 c∈[1,5]，即问题描述中给出的五种操作中的编号，若 c = 1，则再输入一个非负整数 key，表示新插入节点的关键码。

1≤m≤10^5,1≤key≤10^9

所有出现的关键码互不相同。任何一个非插入操作，一定保证树非空。在未执行任何操作之前，树为空

Output

输出共 m 行，每行一个整数，第 i 行对应第 i 个输入的操作的代价。

Sample Input

5
1 2
1 1
1 3
4
5

Sample Output

1
2
2
2
2

 

正解：$link-cut tree+set$

这题我能说什么。。考场上没想到，然而考后就想出来了。。

其实这题是一道大水题吧。。其实连$LCT$都不要用，直接线段树维护就行了。。

我们可以观察得到：插入结点时一定是插到它的前驱或后继中深度更深的那个下面。

单旋最值其实就是把最值抽出来，与原来的根相连，然后再把它的子树与它原来的父亲相连。删除操作类似，还简单一些。。

然后我们直接用$LCT$维护$spaly$。插入，单旋，删除的时候各种$link$,$cut$就行了，顺便再开两个数组维护一下原树的父子关系。

同时我们要查询前驱，后继，最小值，最大值，这个用$set$就能很方便地解决。

每次查询深度，就是$makeroot$一下树根，然后$access$并$splay$当前点，直接查询$splay$中子树大小就行了。

注意细节：如果单旋的时候这个点已经是根就不要$link$,$cut$了。这个地方坑了我好久。。

 

  1 //It is made by wfj_2048~
  2 #include <algorithm>
  3 #include <iostream>
  4 #include <complex>
  5 #include <cstring>
  6 #include <cstdlib>
  7 #include <cstdio>
  8 #include <vector>
  9 #include <cmath>
 10 #include <queue>
 11 #include <stack>
 12 #include <map>
 13 #include <set>
 14 #define inf (1<<30)
 15 #define N (100010)
 16 #define ls (x<<1)
 17 #define rs (x<<1|1)
 18 #define il inline
 19 #define RG register
 20 #define ll long long
 21 #define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
 22 
 23 using namespace std;
 24 
 25 set <int> tr;
 26 set <int>::iterator r;
 27 
 28 struct data{ int c,k; }q[N];
 29 
 30 int hsh[N],rev[N],sz[N],st[N],fa[N],ch[N][2],f[N],c[N][2],m,rt,cnt,tot;
 31 
 32 il int gi(){
 33     RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
 34     while ((ch<‘0‘ || ch>‘9‘) && ch!=‘-‘) ch=getchar();
 35     if (ch==‘-‘) q=-1,ch=getchar();
 36     while (ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘) x=x*10+ch-48,ch=getchar();
 37     return q*x;
 38 }
 39 
 40 il int isroot(RG int x){
 41     return ch[fa[x]][0]!=x && ch[fa[x]][1]!=x;
 42 }
 43 
 44 il void pushdown(RG int x){
 45     rev[x]=0,rev[ch[x][0]]^=1,rev[ch[x][1]]^=1;
 46     swap(ch[x][0],ch[x][1]); return;
 47 }
 48 
 49 il void pushup(RG int x){
 50     sz[x]=sz[ch[x][0]]+sz[ch[x][1]]+1; return;
 51 }
 52 
 53 il void rotate(RG int x){
 54     RG int y=fa[x],z=fa[y],k=ch[y][0]==x;
 55     if (!isroot(y)) ch[z][ch[z][1]==y]=x;
 56     fa[x]=z,ch[y][k^1]=ch[x][k],fa[ch[x][k]]=y;
 57     ch[x][k]=y,fa[y]=x,pushup(y),pushup(x); return;
 58 }
 59 
 60 il void splay(RG int x){
 61     RG int top=0; st[++top]=x;
 62     for (RG int i=x;!isroot(i);i=fa[i]) st[++top]=fa[i];
 63     for (RG int i=top;i;--i) if (rev[st[i]]) pushdown(st[i]);
 64     while (!isroot(x)){
 65     RG int y=fa[x],z=fa[y];
 66     if (!isroot(y)){
 67         if ((ch[z][0]==y)^(ch[y][0]==x)) rotate(x);
 68         else rotate(y);
 69     }
 70     rotate(x);
 71     }
 72     return;
 73 }
 74 
 75 il void access(RG int x){
 76     RG int t=0;
 77     while (x){
 78     splay(x),ch[x][1]=t;
 79     pushup(x),t=x,x=fa[x];
 80     }
 81     return;
 82 }
 83 
 84 il void makeroot(RG int x){
 85     access(x),splay(x),rev[x]^=1; return;
 86 }
 87 
 88 il void link(RG int x,RG int y){
 89     if (!x || !y || x==y) return;
 90     makeroot(x),fa[x]=y; return;
 91 }
 92 
 93 il void cut(RG int x,RG int y){
 94     if (!x || !y || x==y) return;
 95     makeroot(x),access(y),splay(y);
 96     fa[x]=ch[y][0]=0,pushup(y); return;
 97 }
 98 
 99 il int query(RG int x){
100     makeroot(rt),access(x),splay(x);
101     return sz[x];
102 }
103 
104 il void update1(RG int x,RG int k){
105     RG int y=f[x],z=c[x][k];
106     c[x][k]=rt,f[rt]=x,f[x]=0;
107     c[y][k^1]=z,f[z]=y; return;
108 }
109 
110 il void update2(RG int x,RG int k){
111     RG int y=f[x],z=c[x][k]; if (x==rt) rt=z;
112     c[y][k^1]=z,f[z]=y,c[x][k]=f[x]=0; return;
113 }
114 
115 il void work(){
116     m=gi(),tr.insert(-inf),tr.insert(inf);
117     for (RG int i=1;i<=m;++i){
118     q[i].c=gi(),sz[i]=1;
119     if (q[i].c==1) q[i].k=gi(),hsh[++tot]=q[i].k;
120     }
121     sort(hsh+1,hsh+tot+1),tot=unique(hsh+1,hsh+tot+1)-hsh-1;
122     for (RG int i=1;i<=m;++i){
123     if (q[i].c==1){
124         q[i].k=lower_bound(hsh+1,hsh+tot+1,q[i].k)-hsh;
125         if (!cnt) tr.insert(rt=q[i].k),++cnt,puts("1"); else{
126         r=tr.upper_bound(q[i].k); RG int nxt=*r,x=0,d=0,k; --r; RG int pre=*r;
127         if (pre!=-inf){ k=query(pre); if (d<k) x=pre,d=k; }
128         if (nxt!=inf){ k=query(nxt); if (d<k) x=nxt,d=k; }
129         f[q[i].k]=x,c[x][x<q[i].k]=q[i].k,link(x,q[i].k);
130         ++cnt,tr.insert(q[i].k),printf("%d\n",d+1);
131         }
132     }
133     if (q[i].c==2){
134         if (cnt==1) puts("1"); else{
135         r=tr.begin(),++r; RG int x=*r,y=f[x],z=c[x][1],k=query(x);
136         if (x!=rt) cut(x,y),cut(x,z),link(x,rt),link(y,z),update1(x,1),rt=x;
137         printf("%d\n",k);
138         }
139     }
140     if (q[i].c==3){
141         if (cnt==1) puts("1"); else{
142         r=tr.end(),--r,--r; RG int x=*r,y=f[x],z=c[x][0],k=query(x);
143         if (x!=rt) cut(x,y),cut(x,z),link(x,rt),link(y,z),update1(x,0),rt=x;
144         printf("%d\n",k);
145         }
146     }
147     if (q[i].c==4){
148         if (cnt==1) puts("1"),tr.erase(tr.find(rt)),rt=0,--cnt; else{
149         r=tr.begin(),++r; RG int x=*r,y=f[x],z=c[x][1],k=query(x);
150         tr.erase(tr.find(x)),--cnt,cut(x,y),cut(x,z),link(y,z);
151         update2(x,1),printf("%d\n",k);
152         }
153     }
154     if (q[i].c==5){
155         if (cnt==1) puts("1"),tr.erase(tr.find(rt)),rt=0,--cnt; else{
156         r=tr.end(),--r,--r; RG int x=*r,y=f[x],z=c[x][0],k=query(x);
157         tr.erase(tr.find(x)),--cnt,cut(x,y),cut(x,z),link(y,z);
158         update2(x,0),printf("%d\n",k);
159         }
160     }
161     }
162     return;
163 }
164 
165 int main(){
166     File("splay");
167     work();
168     return 0;
169 }