KMP算法的特征向量

Posted 2020-09-14

假设子串P有m个字符，子串P的特征向量N有m个非负整数，与每个字符一一对应。

也就是说每个字符都有属于自己，用来描述所在位置特征的专属数字。

那么，问题来了，这个数字的意义是什么？换句话说这个数字的作用是什么？用来描述什么？

嗯哼！敲黑板，注意听哦。

假设位置是i，N[i]是5，则5代表，从p的前五个字符顺序组成的字符串与从 i 位置开始，向左数5个字符，这5个字符从左向右组成的字符串相同。而且，没有比5大的

(⊙o⊙)…，呃，有点迷。就是    p[0]p[1]p[2]p[3]p[4] == p[i-4]p[i-3]p[i-2]p[i-1]p[i] 这个意思。。。

好了，来下一个定义吧，首先讲几个概念

//前缀子串:  模板P开头的t个字符，称为P的前缀子串，即 q[0]q[1]q[3]…q[t-1]
//i位置的左子串: 模板P的第i位置左边(包括i位置)，也取出t个字符，即q[i-t+1]...q[i-2]q[i-1]q[i]
找出最长的(t最大的)能够与前缀子串匹配的i位置左子串（简称第i位的最长前缀串），t就是要求的特征数ni。

然后p中的每一个字符都有这样的一个数字，这些数字组成了p的特征向量N。

那么，重点来了，如何计算一个子串P的特征向量呢？

这里采用了递归算法，假设i-1位置的特征向量已知，借此来算i的特征向量。

递归，当i==0时，n[0]=0

i > 0 （假定知道n[i-1]==k)

如果p[i]==p[k],则n[i]==k+1；(不会比k+1大，否则n[i-1]>k)

如果p[i]!=p[k],且k!=0；则令k=n[k-1],一直循环，直到不满足。

如果p[i]!=p[k],k==0；则n[i]==0;

如果p[i]==p[k],则n[i]==k+1；

解释：这里主要是一直循环比较难理解。

当i处比较失败后，我们会缩短（如果增长的话n[i-1]>k）最长前缀子串和i-1位置的左子串继续比较，但缩短也是有规律的，我们要把这两者缩小，最长前缀子串

是从右边删减，i-1位置处的左子串是从左边删减，其余两端不变，同时要保证缩小后的两个串依然相等,我们注意到，当前最长前缀子串依然等于i-1位置的左子串

于是问题就转化成把当前最长前缀子串看成子串，找出其最右端字符的特征向量n[k-1].，确定新的当前最长前缀子串，以此类推。需要指出的是k的意义，k代表当前最长

前缀子串的再右边一位，所以这时我们依然比较p[i]与p[k],但是这时k值发生了变化，k=n[k-1].

具体的算法是

int *Next(String P)
{
  int m = P.strlen();    
  //m为模板P的长度
  assert( m > 0 );    
  //若m＝0，退出
  int *N = new  int [m]; 
  // 动态存储区开辟整数数组
  assert( N != 0);   
  //若开辟存储区域失败，退出
  N[0] = 0; 

  for ( int i =1 ; i < m ;  i++ )   //分析P的每个位置i
  {
    //第(i-1)位置的最长前缀串长度     
    int k = N[i-1]; 
    //以下while语句递推决定合适的前缀位置k
    while( k > 0 && P[i] != P[k] )   k = N[k-1];
    //根据P[i]比较第k位置前缀字符，决定N[i]
    if(P[i] == P[k])  

       N[i] = k+1;
    else   N[i] = 0 ;
   }
   return N; 
}