可测集的由来

Posted 2020-09-14 不至不休

可测集类是个西格玛代数,它的形成过程是这样的：先在基本空间x上定义一个测度函数m（是个集合函数且满足三条公理：非负性,空集零测性,可列可加性）, 然后像把这个测度函数的性质,尤其可列可加性“扩大”到让更多的集合满足,也就是做测度延拓,延拓的方法是定义x空间上的外测度m*,但是外测度并没有可列可加性（只有次可列可加性）,这样还需要把外测度扩充后的能用外测度“测量”的所有集合再稍微缩小一点,找出这个集类中满足可列可加性的那些集合,Caratheodory经过多年研究后给出这样的条件（Cara条件,即”可拆分“条件,翻书）,这样最终得到的集类定义成“可测集类”,并且可以证明这个集类是西格玛代数.因此可测集类是从原始集合类经过一次扩大和一次缩小后得到的集类,圆满解决了测度延拓问题.以上不仅对勒贝格测度定义适用,一般抽象测度例如概率测度,lebesgue-stieltijes测度等等也是同样的构造方法. 就勒贝格测度而言,基本空间是R^n,全体开集和闭集形成的代数就是Borel代数,其中的元素叫Borel集合.勒贝格可测集包含全部Borel集,亦即Borel代数是勒贝格可测集类的子集.开集和闭集是Borel集形成的基础.根据后续对勒贝格可测集的讨论,一个勒贝格可测集可以用一个开集从“外部”任意程度逼近,也可以用闭集从“内部”任意程度逼近,而且还可以拆成一个Borel集和一个勒贝格零测集的并或者差. 可测集差不多是闭集或者是开集