一道概率题

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了一道概率题相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

问题:
甲乙双方每人有1-6点的骰子,每人每回合投掷一次,比点子大小~其中骰子只要被投掷出来后,该点骰子将进入冷却,冷却二回合(二回合内该点骰子不会再被投掷方投掷出)。求三回合甲方点数都比乙方大的概率。

这是群里一个策划提出的问题,通过编程穷举可知结果为540/14400=0.0375,下面是数学算法。
解:

一,分母:

由于甲乙二人每次掷骰子都不能与自己之前掷出的点数相同,所以:

分母等价于计算“在下面6x6格子中随机放三个球,使三者互不同行且互不同列”。

计算过程:
设“在此6x6格子中随机放三个球,互不同行且互不同列”的情况数为A,
设“在此6x6格子中随机放三个球,没有其它限制”的情况数为B,
设“在此6x6格子中随机放三个球,存在同行者”的情况数为C,
设“在此6x6格子中随机放三个球,存在同列者”的情况数为D,
设“在此6x6格子中随机放三个球,既存在同行者也存在同列者”的情况数为E,
则有A=B-C-D+E  (为什么要加E? 因为减C和减D时E被重复减了两次)
显然B=C(36,3)=7140
下面计算C:“在此6x6格子中随机放三个球,存在同行者”的情况数。
“存在同行者”包含下列诸情况:
1,同行的一对球在第一行。
此种情况又分出两种情况:
(1)第三个球与此二者同行。即三个球同在第一行,为C(6,3)。
(2)第三个球与此二者不同行。为C(6,2)*C(36-6,1)
2,同行的一对球在第二行。(同上)
3,同行的一对球在第三行。(同上)
4,同行的一对球在第四行。(同上)
5,同行的一对球在第五行。(同上)
6,同行的一对球在第六行。(同上)
所以C=(C(6,3)+C(6,2)*C(36-6,1))*6=2820
下面计算D:显然D=C=2820。
下面计算E:“在此6x6格子中随机放三个球,既存在同行者也存在同列者”的情况数。
不难发现:如果三个球满足E所述模式,则三个球将构成一个直角三角形的三个顶点,例如:

那么作为直角顶点的那个球(图中黄球)的位置,可以用来作为分类依据:
1,直角顶点球在(1,1)处,有5*5种情况
2,直角顶点球在(1,2)处,有5*5种情况
....
36,直角顶点球在(6,6)处,有5*5种情况
所以E=5*5*36=900

所以分母:“在此6x6格子中随机放三个球,互不同行且互不同列”的情况数
A=B-C-D+E=7140-2820-2820+900=2400

二,分子

在分母基础上再加上“三次点数均甲>乙”的限制,所以:
分子等价于计算“在下面绿色区域中随机放三个球,使三者互不同行且互不同列”。

计算过程:
设“在绿色区域中随机放三个球,互不同行且互不同列”的情况数为A’,
设“在绿色区域中随机放三个球,没有其它限制”的情况数为B’,
设“在绿色区域中随机放三个球,存在同行者”的情况数为C’,
设“在绿色区域中随机放三个球,存在同列者”的情况数为D’,
设“在绿色区域中随机放三个球,既存在同行者也存在同列者”的情况数为E’,
则有A’=B’-C’-D’+E’
显然B’=C(15,3)=455
下面计算C’:“在绿色区域中随机放三个球,存在同行者”的情况数。
“存在同行者”包含下列诸情况:
1,同行的一对球在第一行。
此种情况又分出两种情况:
(1)第三个球与此二者同行。即三个球同在第一行,为C(5,3)。
(2)第三个球与此二者不同行。为C(5,2)*C(15-5,1)
2,同行的一对球在第二行。
此种情况又分出两种情况:
(1)第三个球与此二者同行。即三个球同在第二行,为C(4,3)。
(2)第三个球与此二者不同行。为C(4,2)*C(15-4,1)
3,同行的一对球在第三行。
此种情况又分出两种情况:
(1)第三个球与此二者同行。即三个球同在第三行,为C(3,3)。
(2)第三个球与此二者不同行。为C(3,2)*C(15-3,1)
4,同行的一对球在第四行。
此种情况又分出两种情况:
(1)第三个球与此二者同行。即三个球同在第四行,这不可能,为0。
(2)第三个球与此二者不同行。为C(2,2)*C(15-2,1)
所以C’=(C(5,3)+C(5,2)*C(15-5,1))+(C(4,3)+C(4,2)*C(15-4,1))+(C(3,3)+C(3,2)*C(15-3,1))+(0+C(2,2)*C(15-2,1))=230
下面计算D’:显然D’=C’=230。
下面计算E’:“在绿色区域中随机放三个球,既存在同行者也存在同列者”的情况数。
如果三个球满足E所述模式,则三个球将构成一个直角三角形的三个顶点。(前面已经提到过)。
仍以直角顶点球的位置作为分类依据:
1,直角顶点球在(1,2)处,有0种情况
2,直角顶点球在(1,3)处,有1*4种情况
3,直角顶点球在(1,4)处,有2*4种情况
4,直角顶点球在(1,5)处,有3*4种情况
5,直角顶点球在(1,6)处,有4*4种情况
6,直角顶点球在(2,3)处,有1*3种情况
7,直角顶点球在(2,4)处,有2*3种情况
...
15,直角顶点球在(5,6)处,有0种情况
即下表:

所以E’=上表中所有数值的和=4*(0+1+2+3+4)+3*(1+2+3+4)+2*(2+3+4)+1*(3+4)+0=95

所以分母:“在绿色区域中随机放三个球,互不同行且互不同列”的情况数
A’=B’-C’-D’+E’=455-230-230+95=90


三,概率
概率=分子/分母=90/2400=0.0375

四,补充说明
上面计算的分子和分母都是按组合算的,由于概率是二者比值,所以对计算结果没影响。
而实际上,对于原始的掷骰子问题来说,三个回合是有顺序的,所以实际上这里的数学模型中的三个球应该按有顺序算,即最严谨的写法应该是:
(90*3!)/(2400*3!)=0.0375





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