一道概率题

Posted 2020-09-13 wantnon

问题：
甲乙双方每人有1-6点的骰子，每人每回合投掷一次，比点子大小~其中骰子只要被投掷出来后，该点骰子将进入冷却，冷却二回合（二回合内该点骰子不会再被投掷方投掷出）。求三回合甲方点数都比乙方大的概率。

这是群里一个策划提出的问题，通过编程穷举可知结果为540/14400=0.0375，下面是数学算法。
解：

一，分母：

由于甲乙二人每次掷骰子都不能与自己之前掷出的点数相同，所以：

分母等价于计算“在下面6x6格子中随机放三个球，使三者互不同行且互不同列”。

计算过程：
设“在此6x6格子中随机放三个球，互不同行且互不同列”的情况数为A，
设“在此6x6格子中随机放三个球，没有其它限制”的情况数为B，
设“在此6x6格子中随机放三个球，存在同行者”的情况数为C，
设“在此6x6格子中随机放三个球，存在同列者”的情况数为D，
设“在此6x6格子中随机放三个球，既存在同行者也存在同列者”的情况数为E，
则有A=B-C-D+E  (为什么要加E? 因为减C和减D时E被重复减了两次)
显然B=C(36,3)=7140
下面计算C：“在此6x6格子中随机放三个球，存在同行者”的情况数。
“存在同行者”包含下列诸情况：
1，同行的一对球在第一行。
此种情况又分出两种情况：
（1）第三个球与此二者同行。即三个球同在第一行，为C(6,3)。
（2）第三个球与此二者不同行。为C(6,2)*C(36-6,1)
2，同行的一对球在第二行。（同上）
3，同行的一对球在第三行。（同上）
4，同行的一对球在第四行。（同上）
5，同行的一对球在第五行。（同上）
6，同行的一对球在第六行。（同上）
所以C=(C(6,3)+C(6,2)*C(36-6,1))*6=2820
下面计算D：显然D=C=2820。
下面计算E：“在此6x6格子中随机放三个球，既存在同行者也存在同列者”的情况数。
不难发现：如果三个球满足E所述模式，则三个球将构成一个直角三角形的三个顶点，例如：

那么作为直角顶点的那个球（图中黄球）的位置，可以用来作为分类依据：
1，直角顶点球在（1，1）处，有5*5种情况
2，直角顶点球在（1，2）处，有5*5种情况
....
36，直角顶点球在（6,6）处，有5*5种情况
所以E=5*5*36=900

所以分母:“在此6x6格子中随机放三个球，互不同行且互不同列”的情况数
A=B-C-D+E=7140-2820-2820+900=2400

二，分子

在分母基础上再加上“三次点数均甲>乙”的限制，所以：
分子等价于计算“在下面绿色区域中随机放三个球，使三者互不同行且互不同列”。

计算过程：
设“在绿色区域中随机放三个球，互不同行且互不同列”的情况数为A’，
设“在绿色区域中随机放三个球，没有其它限制”的情况数为B’，
设“在绿色区域中随机放三个球，存在同行者”的情况数为C’，
设“在绿色区域中随机放三个球，存在同列者”的情况数为D’，
设“在绿色区域中随机放三个球，既存在同行者也存在同列者”的情况数为E’，
则有A’=B’-C’-D’+E’
显然B’=C(15,3)=455
下面计算C’：“在绿色区域中随机放三个球，存在同行者”的情况数。
“存在同行者”包含下列诸情况：
1，同行的一对球在第一行。
此种情况又分出两种情况：
（1）第三个球与此二者同行。即三个球同在第一行，为C(5,3)。
（2）第三个球与此二者不同行。为C(5,2)*C(15-5,1)
2，同行的一对球在第二行。
此种情况又分出两种情况：
（1）第三个球与此二者同行。即三个球同在第二行，为C(4,3)。
（2）第三个球与此二者不同行。为C(4,2)*C(15-4,1)
3，同行的一对球在第三行。
此种情况又分出两种情况：
（1）第三个球与此二者同行。即三个球同在第三行，为C(3,3)。
（2）第三个球与此二者不同行。为C(3,2)*C(15-3,1)
4，同行的一对球在第四行。
此种情况又分出两种情况：
（1）第三个球与此二者同行。即三个球同在第四行，这不可能，为0。
（2）第三个球与此二者不同行。为C(2,2)*C(15-2,1)
所以C’=(C(5,3)+C(5,2)*C(15-5,1))+(C(4,3)+C(4,2)*C(15-4,1))+(C(3,3)+C(3,2)*C(15-3,1))+(0+C(2,2)*C(15-2,1))=230
下面计算D’：显然D’=C’=230。
下面计算E’：“在绿色区域中随机放三个球，既存在同行者也存在同列者”的情况数。
如果三个球满足E所述模式，则三个球将构成一个直角三角形的三个顶点。（前面已经提到过）。
仍以直角顶点球的位置作为分类依据：
1，直角顶点球在（1，2）处，有0种情况
2，直角顶点球在（1，3）处，有1*4种情况
3，直角顶点球在（1，4）处，有2*4种情况
4，直角顶点球在（1，5）处，有3*4种情况
5，直角顶点球在（1，6）处，有4*4种情况
6，直角顶点球在（2，3）处，有1*3种情况
7，直角顶点球在（2，4）处，有2*3种情况
...
15，直角顶点球在（5，6）处，有0种情况
即下表：

所以E’=上表中所有数值的和=4*(0+1+2+3+4)+3*(1+2+3+4)+2*(2+3+4)+1*(3+4)+0=95

所以分母:“在绿色区域中随机放三个球，互不同行且互不同列”的情况数
A’=B’-C’-D’+E’=455-230-230+95=90

三，概率
概率=分子/分母=90/2400=0.0375

四，补充说明
上面计算的分子和分母都是按组合算的，由于概率是二者比值，所以对计算结果没影响。
而实际上，对于原始的掷骰子问题来说，三个回合是有顺序的，所以实际上这里的数学模型中的三个球应该按有顺序算，即最严谨的写法应该是：
(90*3!)/(2400*3!)=0.0375