bzoj 2154 Crash的数字表格（莫比乌斯反演及优化）

Posted 2020-06-19

 

Description

今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数。例如，LCM(6, 8) = 24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个4*5的表格如下： 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这个表格，Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题：这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时，Crash就束手无策了，因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大，Crash只想知道表格里所有数的和mod 20101009的值。

Input

输入的第一行包含两个正整数，分别表示N和M。

Output

输出一个正整数，表示表格中所有数的和mod 20101009的值。

Sample Input

4 5

Sample Output

122
【数据规模和约定】
100%的数据满足N, M ≤ 107。

 

【思路】

 

　　这个博客推倒过程挺详细的 click here

　　我是图片的搬运工

　　

　　

　　到此为止，只要两个循环都用个分块就可以解决2154了。

 

【代码】

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<iostream>
 4 using namespace std;
 5 
 6 typedef long long ll;
 7 const int N = 1e7+10;
 8 const int MOD = 20101009;
 9 
10 ll mu[N],su[N],sz,np[N];
11 int n,m,mx;
12 
13 void get_mu()
14 {
15     int i,j;
16     mu[1]=1;
17     for(i=2;i<=mx;i++) {
18         if(!np[i])
19             su[++sz]=i,mu[i]=-1;
20         for(j=1;j<=sz&&i*su[j]<=mx;j++) {
21             np[i*su[j]]=1;
22             if(i%su[j]==0)
23                 mu[i*su[j]]=0;
24             else
25                 mu[i*su[j]]=-mu[i];
26         }
27     }
28     for(i=1;i<=mx;i++)
29         mu[i]=(mu[i-1]+(ll)(mu[i]*i*i)%MOD)%MOD;
30 }
31 ll t(ll x,ll y)
32 {
33     return ((ll)(x*(x+1)/2%MOD)*(ll)(y*(y+1)/2%MOD)%MOD);
34 }
35 ll F(int n,int m)
36 {
37     int i,last; ll ans=0;
38     for(i=1;i<=n;i=last+1) {
39         last=min(n/(n/i),m/(m/i));
40         ans=(ans+(ll)(mu[last]-mu[i-1])*t(n/i,m/i)%MOD)%MOD;
41     }
42     return ans;
43 }
44 int main()
45 {
46     //freopen("in.in","r",stdin);
47     //freopen("out.out","w",stdout);
48     scanf("%d%d",&n,&m);
49     if(n>m) swap(n,m);
50     mx=n;
51     get_mu();
52     int last; ll ans=0;
53     for(int i=1;i<=n;i=last+1) {
54         last=min(n/(n/i),m/(m/i));
55         ans=(ans+((ll)(i+last)*(last-i+1)/2*F(n/i,m/i)%MOD))%MOD;
56     }
57     printf("%lld",(ans+MOD)%MOD);
58     return 0;
59 }

 

【优化】

　　我是图片的搬运工

　　

　　（H打错为F 233）

　　积性函数的约数和也是积性函数，H(D) 可以用线性筛求，然后求下前缀和就好了。

　　至此为止，可以解决2693的多查询问题了。

 

【代码】

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<iostream>
 4 using namespace std;
 5 
 6 typedef long long ll;
 7 const int N = 1e7+10;
 8 const int MOD = 20101009;
 9 
10 ll sum[N],su[N],sz,np[N];
11 int n,m,mx;
12 
13 void get_mu()
14 {
15     int i,j;
16     sum[1]=1;
17     for(i=2;i<=mx;i++) {
18         if(!np[i]) {
19             su[++sz]=i,
20             sum[i]=(i-(ll)i*i)%MOD;
21         }
22         for(j=1;j<=sz&&i*su[j]<=mx;j++) {
23             np[i*su[j]]=1;
24             if(i%su[j]==0)
25                 sum[i*su[j]]=(su[j]*sum[i])%MOD;
26             else
27                 sum[su[j]*i]=(sum[su[j]]*sum[i])%MOD;
28         }
29     }
30     for(i=1;i<=mx;i++)
31         sum[i]=(sum[i]+sum[i-1])%MOD;
32 }
33 ll S(ll x,ll y)
34 {
35     return ((ll)(x*(x+1)/2%MOD)*(ll)(y*(y+1)/2%MOD)%MOD);
36 }
37 
38 int main()
39 {
40     //freopen("in.in","r",stdin);
41     //freopen("out.out","w",stdout);
42     mx=1e7;
43     get_mu();
44     int T; scanf("%d",&T);
45     while(T--) {
46         scanf("%d%d",&n,&m);
47         if(n>m) swap(n,m);
48         mx=n; get_mu();
49         int last; ll ans=0;
50         for(int i=1;i<=n;i=last+1) {
51             last=min(n/(n/i),m/(m/i));
52             ans=(ans+(ll)S(n/i,m/i)*(sum[last]-sum[i-1])%MOD)%MOD;
53         }
54         printf("%lld\n",(ans+MOD)%MOD);
55     }
56     return 0;
57 }

 

　　两倍经验get :)

　　最后扔上popoqqq神犇的ppt click here