51nod1158 单调栈　个人的想法以及分析

Posted 2020-09-13

单调栈，顾名思义就是保持内部元素单调性并且保证FILO的一种数据结构。　单调栈的代码实现没有什么难度，但是使用姿势难以想到。

在51nod1158中描述了这样一个问题：　给定一个 0-1 矩阵，　求这个矩阵最大的全 1 子矩阵的面积。

问题十分好理解。　

现在，我们将这个问题拆分成一些子问题来逐个击破。

首先，为了保证程序操作的规律性与有序性，我们需要把问题等价成一个任意规模下的问题。　比如我们可以将其等价为：

　　对于第 i 行（列），　求出　以它为边界的最大全 1 子矩阵面积。

　　这样子我们最终所需要的其实是 max(ansi);

接下来解决 i 规模下的问题：

　　由于矩阵其实是一种二维结构，对二维结构的处理是十分复杂并且耗时的，所以我们考虑把二维的问题转变为一维的问题。

　　这样子我们肯定没有办法直接处理。　由于题目要求的是求出子矩阵面积，　所以我们考虑对于一个点 (i,j)，　它周围会有多大的全１矩阵。

　　首先我们需要在行和列上对 (i,j)  覆盖范围进行扩展。　那么我们自然而然会想到统计的方法。　即统计出行上扩展的长度，以及在此基础上列扩展的长度。

　　扩展行的长度比较容易，我们只需要预处理矩阵。　对于 (i,j) 定义 cnt[i][j] 表示它在行上扩展的长度。　则容易得到递推式　cnt[i][j] = (a[i][j] == 1 ? cnt[i][j-1] + 1 : 0)

　　列扩展的难点在与需要依赖与行扩展的结果。　每次所扩展的范围一定是扩展到一个离 ( i , j ) 最远的行扩展不为 0 的位置。　这个很好理解，然后用行扩展乘列扩展就是最终答案。

　　那我们现在的问题转化为如何求解列扩展。

　　对于位置 ( i , j ) 我们已知它的行扩展为 cnt[i][j] 那么我们考虑以位置 ( i, j ) 为起点向 ( i , j-1 ) 的方向扩展。　在这个方向上与位置 ( i , j ) 相连且行扩展大于 cnt[i][j] 的列号都是可扩展列。

　　所以我们此时需要找到所有 j 列之前的列扩展大于 cnt[i][j] 的列，　程序上来讲就是实现一个单调减栈，　每次入栈 ( i , j ) 时必定会先弹出大于cnt[i][j] 的元素。

　　我们从 ( i, j ) 开始向左扩展，　再向右扩展，　就得到了最终的结果。

　　代码如下：

　　

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int maxn = 510;
 4 int a[maxn][maxn];
 5 int tmp[maxn][maxn];
 6 int up[maxn], down[maxn];
 7 int main(){
 8     int m,n;
 9     cin >> m >> n;
10     for(int i = 1; i <= n; i++){
11         for(int j = 1; j <= m; j++){
12             scanf("%d", &a[i][j]);
13         }
14     }
15     for(int i = 1; i <= n; i++){
16         for(int j = 1; j <= m; j++){
17             if(a[i][j]) tmp[i][j] = tmp[i][j-1] + 1;
18         }
19     }
20     int ans = 0;
21     for(int j = 1; j <= m; j++){
22         for(int i = 1; i <= n; i++){
23             int cur = i-1;
24             for(; cur && tmp[i][j] <= tmp[cur][j]; cur = up[cur]);
25             up[i] = cur;    
26         }
27         for(int i = n; i > 0; i--){
28             int cur = i + 1;
29             for(; cur <= n && tmp[i][j] <= tmp[cur][j]; cur = down[cur]);
30             down[i] = cur;     
31         }
32         for(int i = 1; i <= n; i++){
33             ans = max(ans, (down[i] - up[i] - 1) * tmp[i][j]);
34         }
35     }    
36     cout << ans << endl;
37     return 0;
38 }