[9018]2006: 方程狂魔

Posted 2020-09-12 ditoly

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题目描述

　　qrc 参加了小兔的生日 party。小兔问了他一个问题……

　　小兔问：“给定一个关于 x 和 y 的方程：1/x+1/y=1/n!。给定 n 的值，计算这个方程有多少组正整数解？”
　　qrc：“这个问题太简单了，我不屑于做。”于是他把这道题扔给了你。
　　因为 qrc 会 extgcd，所以你只要告诉他解的个数除以 1000000007（1e9+7）的余数即可。

输入

　　一个正整数 n。

输出

　　一个数，表示解的个数。

样例输入

　　3
　　------
　　1439

样例输出

　　9
　　----
　　102426508

提示

　　对于前 20%的数据，n<=10。
　　对于前 40%的数据，n<=100。
　　对于前 60%的数据，n<=10000。
　　对于前 100%的数据，1<=n<=10000000。

题解

　　听到学弟们在群上交流他们自己出的题就来看看，意外发现这道题挺有意思，下面是我的做法。

　　先把式子化一化

　　$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n!}$$

　　$$\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{n!}$$

　　$$xy=n!(x+y)$$

　　$$x=\frac{n!y}{y-n!}$$

　　$$令z=y-n!$$

　　$$x=\frac{n!(n!+z)}{z}$$

　　那么问题就变成求存在多少个正整数$z$能整除$n!(n!+z)$，由于$n!(n!+z)=n!^2+n!z$，其中$n!z$显然被$z$整除，我们只要考虑有多少个$z$能整除$n!^2$，那么我们把$1$到$n$都分解质因数，很容易求出$n!^2$的所有质因数个数，然后很容易就可以求出$n!^2$的因数个数，也就是答案，总复杂度可以做到$O(n)$。

代码

#include<cstdio>
#define MN 10000000
#define MP 665000
#define MOD 1000000007
int n,ans=1,u[MN+5],p[MP+5],pn,s[MN+5],c[MN+5];
int main()
{
    register int i,j;
    scanf("%d",&n);
    for(i=2;i<=n;++i)
    {
        if(!u[i])p[++pn]=u[i]=i;
        for(j=1;i*p[j]<=n;++j){u[i*p[j]]=p[j];if(i%p[j]==0)break;}
    }
    for(i=n;i>1;--i)c[u[i]]+=++s[i]<<1,s[i/u[i]]+=s[i];
    for(i=1;i<=pn;++i)ans=1LL*ans*(c[p[i]]+1)%MOD;
    printf("%d",ans);
}