NOIP2016 天天爱跑步 正解

Posted 2020-09-08 日拱一卒 功不唐捐

暴力移步 http://www.cnblogs.com/TheRoadToTheGold/p/6673430.html

 

 

首先解决本题应用的知识点：

dfs序——将求子树的信息（树形）转化为求一段连续区间信息（线形）

线段树——求区间信息

树上差分——统计答案

lca——拆分路径

树链剖分——求lca

 

另deep[]表示节点的深度，watch[]表示观察者的出现时间，s表示玩家起点，t表示终点

固定节点的观察者出现的时间固定，说明对这个观察者有贡献的点是有限且固定的

只有满足  观察者出现时间=玩家起点与观察者距离的  玩家才对观察者有贡献

 

每条路径拆成   起点到lca（向上跑）  和   终点到lca的子节点（向下跑）  的两条路径

对于向上跑的，如果玩家能被观察员i观察到，那么deep[s]-deep[i]=watch[i]   式①

对于向下跑的，就是 deep[s]+deep[i]-2*deep[lca(s,i)]=watch[i]  式②

等号左边是玩家起点与观察者的距离，等号右边是观察者出现时间

向上跑的很显然，向下跑的如何理解？

假设我们知道点a，b到lca（a，b）的距离分别为da，db，那么a，b之间的距离=da+db

但这里的deep不是到lca的距离，是深度，即到根节点的距离+1

deep[s]+deep[i]包含2段信息，1、s到i的距离，   2、lca（s，i）到根节点的距离+1 

第2段包含了2次，所以减去

 

先看向上跑的

玩家路径：玩家起点 到 起点与终点的lca

将式①移项，deep[s]=deep[i]+watch[i]

发现等号右边是定值

也就是说对与观察者i，他所能观察到的向上跑的玩家，是所有的起点=deep[i]+watch[i]的玩家

换句话说，以i为根的子树中，所有深度为deep[i]+watch[i]的玩家都能被i观察到

我们如果搞一个dfs序，i的在a时入栈，在b时出栈，

那么以i为根的子树就可以转化为区间[a,b]

深度咋整？

我们对每个深度建立一颗线段树（动态加点）

那么问题就转化为了  在深度为deep[i]+watch[i]的线段树中，查询区间[a,b]的玩家个数

现在就差玩家个数了

很容易想到在起点处+1

但是还要在起点与终点的lca的父节点处-1

差分惯用思想

用sum[]统计这些1和-1的和

那么问题就转化为了  在深度为deep[i]+watch[i]的线段树中，查询区间[a,b]的sum和

 

提问：为什么是起点处+1，lca的父节点处-1，可以反过来吗？

不可以。

因为起点的深度深，lca的父节点深度浅，在深度深的节点处+1，以深度深度浅的点为根的子树可以包含这个点

想想序列上的差分，是左端点+1，右端点后面的点-1

因为序列差分与前缀和相联系，前面的点的信息对后面的点会产生影响，所以只需加一个1

这里查询的是子树信息，是这个点深度及以下的信息

对照理解即可

 

向下跑的同理，只简单说怎么做

玩家路径：lca的子节点到玩家终点

把式②移项 deep[s]-2*deep[lca(s,i)]=watch[i]-deep[i]

在watch[i]-deep[i]深度为deep[s]-2*deep[lca(s,i)]的线段树中，终点处+1，lca处-1

查询时查深度为watch[i]-deep[i]的线段树即可

 

2个小问题：

1、做完向上跑的后，不要忘了清空线段树

2、向下跑的deep[s]-2*deep[lca(s,i)]可能会产生负数，所以全体后移一定长度，root[]数组开大

我后移了2*n，那么root[]数组要开3倍

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 300401
using namespace std;
int n,m,fa[N],son[N],deep[N],bl[N],sz,id[N],ans[N];
int in[N],out[N],watch[N];
int front[N],nextt[N*2],to[N*2];
int root[N*3],lc[N*25],rc[N*25],sum[N*25],tot,cnt;
struct node
{
    int s,t,lca;
}runner[N];
void add(int u,int v)
{
    to[++cnt]=v; nextt[cnt]=front[u]; front[u]=cnt;
}
void dfs1(int now)
{
    son[now]++;
    for(int i=front[now];i;i=nextt[i])
    {
        if(to[i]==fa[now]) continue;
        deep[to[i]]=deep[now]+1;
        fa[to[i]]=now;
        dfs1(to[i]);
        son[now]+=son[to[i]];
    }
}
void dfs2(int now,int chain)
{
    id[now]=++sz;
    in[now]=sz;
    bl[now]=chain;
    int y=0;
    for(int i=front[now];i;i=nextt[i])
    {
        if(to[i]==fa[now]) continue;
        if(son[to[i]]>son[y]) y=to[i];
    }
    if(!y) 
    {
        out[now]=sz;
        return;
    }
    dfs2(y,chain);
    for(int i=front[now];i;i=nextt[i])
    {
        if(to[i]==fa[now]||to[i]==y) continue;
        dfs2(to[i],to[i]);
     }
     out[now]=sz;
}
int getlca(int u,int v)
{
    while(bl[u]!=bl[v])
    {
        if(deep[bl[u]]<deep[bl[v]]) swap(u,v);
        u=fa[bl[u]];
    }
    return deep[u]<deep[v] ? u:v;
}
void change(int & now,int l,int r,int pos,int w)
{
    if(!pos) return;
    if(!now) now=++tot;
    sum[now]+=w;
    if(l==r) return;
    int mid=l+r>>1;
    if(pos<=mid) change(lc[now],l,mid,pos,w);
    else change(rc[now],mid+1,r,pos,w);
}
int query(int now,int l,int r,int opl,int opr)
{
    if(!now) return 0;
    if(l==opl&&r==opr) return sum[now];
    int mid=l+r>>1;
    if(opr<=mid) return query(lc[now],l,mid,opl,opr);
    else if(opl>mid) return query(rc[now],mid+1,r,opl,opr);
    else return query(lc[now],l,mid,opl,mid)+query(rc[now],mid+1,r,mid+1,opr);
}
void clear()
{
    tot=0;
    memset(lc,0,sizeof(lc));
    memset(rc,0,sizeof(rc));
    memset(sum,0,sizeof(sum));
    memset(root,0,sizeof(root));
}
int main()
{
    /*freopen("runninga.in","r",stdin);
    freopen("runninga.out","w",stdout);*/
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int u,v;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&u,&v);
        add(u,v);add(v,u);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&watch[i]);
    for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&runner[i].s,&runner[i].t);
    dfs1(1);
    dfs2(1,0);
    for(int i=1;i<=m;i++) runner[i].lca=getlca(runner[i].s,runner[i].t);
    int now;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        now=deep[runner[i].s];
        change(root[now],1,n,id[runner[i].s],1);
        change(root[now],1,n,id[fa[runner[i].lca]],-1);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) ans[i]=query(root[deep[i]+watch[i]],1,n,in[i],out[i]);
    clear();
    for(int i=1;i<=m;i++) 
    {
        now=deep[runner[i].s]-deep[runner[i].lca]*2+n*2;
        change(root[now],1,n,id[runner[i].t],1);
        change(root[now],1,n,id[runner[i].lca],-1);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) ans[i]+=query(root[watch[i]-deep[i]+n*2],1,n,in[i],out[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",ans[i]);
}