Codeforces 449D：Jzzhu and Numbers

Posted 2020-09-08 barriery

Codeforces 449D：Jzzhu and Numbers

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/449/D

题目大意：给出$n$个数，求有多少种组合使得$a_{i_1}\\&a_{i_2}\\&...\\&a_{i_k}=0(0 \\leqslant i < n)$，答案对$10^9+7$取模.

容斥原理+DP

设位与$(\\&)$后二进制表示中有$k$个$1$的组合数为$A_k$，则有，

$A_0=$所有情况$-A_1+A_2-...+(-1)^kA_k=$所有情况$+\\sum_{i=1}^k(-1)^kA_k$.

关键在于求出$A_k$.

我们曾在这道题（http://www.cnblogs.com/barrier/p/6664229.html）里求过：

$n$个数中，与$x$位与后仍为$x$的个数$f(x)$，

而若干个数位与后为$x$的组合数为$2^{f(x)}-1$.

至此，已能够求出$A_K$.

若设$g(x)$为$x$的二进制表示中$1$的个数，则$A_0=$所有情况$+\\sum_{i=1}^k(-1)^{g(i)}(2^{f(i)}-1)$.

（由于任何数位与$0$均为$0$，所以有$f(0)=n$，故可以化简成$A_0=\\sum_{i=0}^k(-1)^{g(i)}(2^{f(i)}-1)$）

对于这道题来说，可以预处理$2^k\\%mod$，总复杂度为$O(nlgn)$.

（当然也可以不进行预处理，考虑到乘法溢出，复杂度为$O(nlg^3n)$，也是可以过的...）

代码如下：

 1 #include <cstdio>
 2 #define N 1000005
 3 using namespace std;
 4 typedef long long ll;
 5 const int mod=1e9+7;
 6 int n,t,f[1<<20],pow2[1<<20];
 7 int mus(int x,int y){
 8     return (x-y+mod)%mod;
 9 }
10 void getf(){
11     for(int i=0;i<20;++i)
12         for(int j=0;j<(1<<20);++j)
13             if((j&(1<<i))==0)f[j]+=f[j|(1<<i)];
14 }
15 int solve(){
16     getf();
17     int ans=mus(pow2[n],1);
18     for(int i=1;i<(1<<20);++i){
19         int g=0;
20         for(int j=0;j<20;++j)if(i&(1<<j))g++;
21         if(g&1)ans=mus(ans,mus(pow2[f[i]],1));
22         else ans=(ans+mus(pow2[f[i]],1))%mod;
23     }
24     return ans;
25 }
26 int main(void){
27     scanf("%d",&n);
28     for(int i=0;i<n;++i){
29         scanf("%d",&t);
30         f[t]++;
31     }
32     pow2[0]=1;
33     for(int i=1;i<=1000000;++i)pow2[i]=(2*pow2[i-1])%mod;
34     printf("%d\\n",solve());
35 }