Codeforces 450B Jzzhu and Sequences

Posted 2021-01-21 suvvm

　　Jzzhu and Sequences 

　　Jzzhu has invented a kind of sequences, they meet the following property:

　　You are given x and y, please calculate f_n modulo 1000000007 (10⁹?+?7).

Input

　　The first line contains two integers x and y(|x|,?|y|?≤?10⁹). The second line contains a single integer n (1?≤?n?≤?2·10⁹).

Output

　　Output a single integer representing f_n modulo 1000000007 (10⁹?+?7).

Examples

Input

2 3
3

Output

1

Input

0 -1
2

Output

1000000006

Note

　　In the first sample, f₂?=?f₁?+?f₃, 3?=?2?+?f₃, f₃?=?1.

　　In the second sample, f₂?=??-?1; ?-?1 modulo (10⁹?+?7)equals (10⁹?+?6).

解题思路：
　　本题给出一个运算公式 f( i ) = f( i - 1) + f(i + 1)给出两个整数分别为前两项的值，之后给出一个整数n，要求求出第n项的值。

　　我们首先将公式变形一下

　　

     f( i ) = f( i - 1 ) + f( i + 1 ) 
 ?  f( i + 1 ) =  f( i ) - f( i - 1 )
 ?  f( i ) = f( i - 1 ) - f( i - 2 )

　　之后我们将相邻两项计入一个2 * 1的矩阵中

　　n大于3时计算n - 2次方即可得出答案

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long LL;
 4 const LL mod = 1e9+7;
 5 const int maxn = 2;
 6 struct matrix{
 7     LL mat[maxn][maxn]; //mat存放矩阵
 8     matrix operator *(const matrix &a)const{    //重载运算符*
 9         matrix ans;
10         for(int i = 0; i < 2; i++){ //遍历行
11             for(int j = 0; j < 2; j++){ //遍历列
12                 ans.mat[i][j] = 0;
13                 for(int k =0; k < 2; k++){  //固定k进行矩阵乘法
14                     ans.mat[i][j] = (ans.mat[i][j] + mat[i][k] * a.mat[k][j] % mod) % mod;
15                 }
16             }
17         }
18         return ans;
19     }
20 };
21 matrix power(matrix a, LL b){   //矩阵快速幂，与普通快速幂几乎没有区别
22     matrix ans; //答案矩阵
23     memset(ans.mat, 0, sizeof(ans.mat));    
24     for(int i = 0; i < 2; i++){
25         ans.mat[i][i] = 1;
26     }
27     //以上为初始化单位矩阵
28     while(b){
29         if(b & 1){  //b按位与1匹配
30             ans = ans * a;
31         }
32         b >>= 1;
33         a = a * a;
34     }
35     return ans;
36 }
37 int main()
38 {
39     LL x ,y, n;
40 
41     while(scanf("%lld%lld", &x, &y) != EOF){    //输入x与y
42         matrix a;
43         scanf("%lld", &n);  //输入n
44         a.mat[0][0] = 1;
45         a.mat[0][1] = -1;
46         a.mat[1][0] = 1;
47         a.mat[1][1] = 0;
48         //初始化矩阵
49         //n为1或2单独判断
50         if(n == 1){
51             printf("%lld
", (x % mod + mod) % mod);
52         }else if(n == 2){
53             printf("%lld
", (y % mod + mod) % mod);
54         }else{  //n>=3
55             a = power(a, n - 2);    //计算矩阵a的n - 2次方
56             LL ans = (((a.mat[0][0] * y + a.mat[0][1] * x) % mod) + mod ) % mod;
57             
58             printf("%lld
", ans);
59         }
60     }
61     return 0;
62 }

 

 

[FnFn?1]=[Fn?1+Fn?2Fn?1]=[Fn?1×1+Fn?2×1Fn?1×1+Fn?2×0]=[1110]×[Fn?1Fn?2]=[1110]n?1×[F1F0]=[1110]n?1×[10]