bzoj 2820: YY的GCD

Posted 日拱一卒 功不唐捐

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了bzoj 2820: YY的GCD相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

2820: YY的GCD

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Description

神犇YY虐完数论后给傻×kAc出了一题给定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对kAc这种
傻×必然不会了,于是向你来请教……多组输入

Input

第一行一个整数T 表述数据组数接下来T行,每行两个正整数,表示N, M

Output

T行,每行一个整数表示第i组数据的结果

Sample Input

2
10 10
100 100

Sample Output

30
2791

HINT

T = 10000

N, M <= 10000000

 

先推一个:

 

 n  m

   Σ  Σ  gcd(x,y)=p

   x  y

 

       n/p  m/p

= Σ   Σ     Σ   gcd(x’,y’)=1

   p   x\'    y’

   
      n/p   m/p

= Σ  Σ      Σ   e(gcd(x’,y’)) 

   p  x’      y’

 

      n/p   m/p       

= Σ  Σ      Σ        Σ  μ(d)  

   p  x’      y’     d\\gcd(x’,y’)

 

            n/pd     m/pd

= Σ  Σ     Σ         Σ    μ(d)

   p  d     x’’        y’’        

 

              n/t   m/t

= Σ   Σ     Σ      Σ   μ(d)        令p*d=t

   t   p\\t    x’’    y’’

 

= Σ  Σ  μ(d) floor(n/t) floor(m/t)

   t  p\\t

 

∴ans=Σ  Σ μ(T/p) floor(n/T)floor(m/T)

       T p\\T

现在是枚举T、P,肯定TLE

所以继续推

令 f(T)=Σ μ(T/p)  p为素数

             p\\T

根据线性筛的思路

当T为素数时 只有p=T,∴f(T)=μ(1)=1

当T不为素数时,

令T=i*prime[j]

对i分解质因数,i=p1^k1*p2^k2*p3^k3……

当i%prime[j]!=0时, f[i]=Σ μ(i/p)=μ(p1^(k1-1)*p2^k*p3^k……)+μ(p1^k1*p2^(k2-1)*p3^k3……)+μ(p1^k1*p2^k2*p3^(k3-1)……)+……

                                    p\\i

为了方便表示,令s1=μ(p1^(k1-1)*p2^k*p3^k……)  s2=μ(p1^k1*p2^(k2-1)*p3^k3……)  s3=μ(p1^k1*p2^k2*p3^(k3-1)……)  ……

f[T]=Σ μ(T/p)=μ(s1*prime[j])+μ(s2*prime[j])+μ(s3*prime[j])+……+μ(T/prime[j])

      p\\T

                      = μ(prime[j])*(μ(s1)+μ(s2)+μ(s3)+……)+μ(T/prime[j])

                      =μ(prime[j])*f(i)+μ(i)

                      =-f(i)+μ(i)

当i%prime[j]==0时,i分解质因数,其中必有一个pi=prime[j]

∴上面f(T)中每一项中,除最后一项外,前面每一项的prime[j]都可以与si中的1个pi合并为一个,即出现了pi^ki ki>=2 

∴f(T)除最后一项都=0

看最后一项,μ(T/prime[j]),因为T=i*prime[j],所以prime[j]约去

所以最优后一项=μ(i)

综上所述,线性筛时,枚举i

当i为素数时 f(i)=1

当i%prime[j]!=0时,f(i*prime[j])= μ(i)-f(i)

当i%prime[j]   =0时,  f(i*prime[j])=μ(i)

 

为什么这里把T是素数换成了i是素数

因为线性筛的过程,T若是素数,一定可以在某个i时被枚举到

然后i*prime[j]就相当于推导过程中的T

 

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define N 10000001
using namespace std;
int t;
long long x,y;
int prime[N],miu[N],cnt,f[N],sum[N];
bool v[N];
void pre()
{
    miu[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(!v[i])
        {
            v[i]=true;
            prime[++cnt]=i;
            miu[i]=-1;
            f[i]=1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
        {
            if(i*prime[j]>N-1) break;
            v[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                miu[i*prime[j]]=0;
                f[i*prime[j]]=miu[i];
                break;
            }
            miu[i*prime[j]]=-miu[i];
            f[i*prime[j]]=miu[i]-f[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<N;i++) sum[i]=sum[i-1]+f[i];
}
void solve()
{
    long long k=min(x,y),j,ans=0;
    for(long long i=1;i<=k;i=j+1)
    {
        j=min(x/(x/i),y/(y/i));
        ans+=(x/i)*(y/i)*(sum[j]-sum[i-1]);
    }
    printf("%lld\\n",ans);
}
int main()
{
    pre();
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld",&x,&y);
        solve();
    }
}

 

元元真厉害\\(^o^)/~

我的智商啊~~~~(>_<)~~~~

以上是关于bzoj 2820: YY的GCD的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

[BZOJ2820]YY的GCD

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