UVALive 5873 （几何+思维）

Posted 2020-06-18 chenhuan001

唉 被秀了。。。 还是太弱，说好的数形结合呢，列个式子出来后就被吓到了，然后就懵逼了。

题意：

有一条狗，从原点出发，沿n个向量走，每个向量只走一次，沿着一个向量（x,y）走时，既可以往(x,y)方向走，也可以往(-x,-y)方向走。 然后问这条狗离原点最远的距离。

如果写成方程:

n个向量分别表示为： (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) ... (xn,yn)

第i个向量往(xi,yi)方向则ai=1,否则ai=-1

则ans = (a1*x1+a2*x2+...+an*xn)^2 + (a1*y1+a2*y2+...+an*yn)^2

要你给出一个(a1,a2,...,an)使得ans最大。

我以为写出方程形式会有助于做题，然并卵。。。

这题还是要用直观的方法理解。。。

数形结合方法：

定理1：如果把一个向量的正方向和反方向都算上，那么最优解的n个向量必然在一个半平面内。

证明： 假设最优解中的n个向量不在一个半平面内，一定可以找到一个直线l，使得直线左右两边都存在向量，那么将直线l左边的向量都转变为其反向量，那么结果一定大于最优解。

定理2: 如果把一个向量的正方向和反方向都算上，并以对x正半轴夹角排序，则连续的n个向量必两两不同（即不会存在一个向量的正向量和反向量都存在的情况）。

证： 显然。

由这两个定理，那么这题就很好做了，把所有的(xi,yi)(-xi,-yi)都算上，然后进行极角排序，枚举连续的n个记录最大值即可。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 110
const double PI         = acos(-1.0);// PI

struct node
{
    int x,y;
    double ang;
}g[2*N];

double GetAngle(double x,double y)
{
    double tmp=atan2(y,x);
    if(tmp<0) tmp=2*PI+tmp;
    return tmp;
}

double dis(int x,int y)
{
    return sqrt((double)x*x+(double)y*y);
}

int cmp(node t1,node t2)
{
    return t1.ang<t2.ang;
}


//泥煤,完全想错了。。。

int main(int argc, const char * argv[]) {
    int n;
    while(scanf("%d",&n) && n)
    {
        int cnt=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            int x,y;
            scanf("%d%d",&x,&y);
            g[cnt].x=x; g[cnt].y=y; g[cnt].ang=GetAngle(x, y);
            cnt++;
            g[cnt].x=-x; g[cnt].y=-y; g[cnt].ang=GetAngle(-x, -y);
            cnt++;
        }
        sort(g,g+cnt,cmp);
        int pi,pj;
        pi=0;
        double ans=0;
        for(;pi<cnt;pi++)
        {
            int x=0,y=0;
            pj=pi;
            for(int j=0;j<n;j++)
            {
                x+=g[pj].x;
                y+=g[pj].y;
                pj=(pj+1)%cnt;
            }
            ans=max(ans,dis(x,y));
        }
        /*
        ans*=10000;
        int tmp=((long long)ans)%10;
        ans/=10;
        if(tmp>5) ans++;
        ans/=1000;
        char strans[110];
        sprintf(strans,"%lf",ans);
        for(int i=0;i<100;i++)
        {
            if(strans[i] == ‘.‘)
            {
                printf("%c",strans[i]);
                for(int j=0;j<3;j++)
                {
                    printf("%c",strans[i+1+j]);
                }
                break;
            }
            else printf("%c",strans[i]);
        }
        printf("\n");
         */
        printf("%.3lf\n",ans);
    }
    return 0;
}

PS:最后题目中说的四舍五入是扯淡，直接%.3lf即可。