计算数组中的逆序数（inversion）个数

Posted 2020-09-05

　　今天继续学了算法，首先是一个计算数组中的逆序数的算法。

　　通常，很容易想到的计算办法就是运用两个for循环遍历比较整个数组，当某个数字的下标较大，而值却小于小标比它小的某个位置上的值时，逆序数＋1，但是此种算法复杂度较高，随着输入数据规模的增大效率会快速下降（即输入的数组变大了），具体的复杂度计算方法如下：设数组有n个元素，则需要遍历n次，而每一次遍历中要与下标在后面的进行比较，在当次遍历中，其后具有（n-当次遍历的元素的下标）个元素，那么就需要进行n^2/2次操作（后面的元素不需要再与前面的比较），运用notation，最后复杂度应该表示为O（n^2)，所依此算法的效率就随n的增大而快速降低。所以呢？我们提出一个问题：Can we do better?

　　Of course we can, there is always another way.怎么解决呢？其中一个方法是用merge算法。（具体是什么自行研究吧，我也还在学习中，简单的说就是把数组分成相等的两部分，如果是奇数就一边多了一个，另一半少一个，然后就不断递归，分别把两部分等分成更小的相等部分，最后分到一定小后排好序，分别找出两部分中分别含有的逆序数（两个数都在一个部分中），还有就是“构成逆序数”的两个数字分别在两部分中),接下来的重点就是找出第二种“逆序数”（我的意思是构成逆序数的第二种方式，就是两个数在不同的两个部分），而merge算法解决这个就很有优势，理由如下：比如员数组是[ 1, 3, 5, 2, 4, 6],分成两部分后排好序分别为A[1 , 3, 5], B[ 2, 4, 6],最终的输出结果为D[1, 2, 3, 4, 5, 6]，那么作如下图：（相同数字上下连线，连线交点数即为结果）

1  3  5 ， 2   4   6

1  2  3     4   5   6

为什么呢？由A,B生成D的过程就是merge过程，merge通过

i=0， j ＝ 0；

for k=0 to n：

　　if A[i] < B[j]:

　　　　D[k] = A[i];

　　　　i++;

　　else if A[i] > B[j]:

　　　　D[k] = B[j];

　　　　j++;

这个过程生成最后的D，由此很容易看出，如果在A未被完全转移到D之前，B中的某个元素先被移到了D中，那么当B中这个元素移动时，A中还剩余有多少个元素未移到D的，A中就有多少个元素比这个B中的元素大。综上，交点数即“那种逆序数”。