BZOJ 3930: [CQOI2015]选数

Posted 2020-09-05 NeighThorn

3930: [CQOI2015]选数

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Description

 我们知道，从区间[L,H]（L和H为整数）中选取N个整数，总共有(H-L+1)^N种方案。小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律，他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数，以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了，于是向你寻求帮助。你的任务很简单，小z会告诉你一个整数K，你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大，你只需要输出其除以1000000007的余数即可。

Input

输入一行，包含4个空格分开的正整数，依次为N，K，L和H。

Output

输出一个整数，为所求方案数。

Sample Input

2 2 2 4

Sample Output

3

HINT

 样例解释

所有可能的选择方案：(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)

其中最大公约数等于2的只有3组：(2, 2), (2, 4), (4, 2)

对于100%的数据，1≤N,K≤10^9，1≤L≤H≤10^9，H-L≤10^5

Source

分析：

考虑可以把区间内的数都除以$k$，这样问题就转化为了$gcd$为$1$的方案数...

先算$n$个数字不同的情况，最后特判相同的情况...

考虑区间长度只有$10^5$，应该好好利用这个性质，也就是说，$gcd$的取值不可能超过区间长度，那么我们就记录$f[i]$代表$gcd$恰好位$i$的方案数，计算的时候先算出$gcd$至少为$i$的方案数，然后减去$f[2*i]$、$f[3*i]$...这样就可以$O(len)$地推出$f[1]$...

代码：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
//by NeighThorn
using namespace std;

const int mod=1000000007,maxn=100000+5;

int n,k,l,r,len,lala,f[maxn];

inline int power(int x,int y){
	int res=1;
	while(y){
		if(y&1)
			res=1LL*res*x%mod;
		x=1LL*x*x%mod,y>>=1;
	}
	return res;
}

signed main(void){
	scanf("%d%d%d%d",&n,&k,&l,&r);
	if(l<=k&&k<=r) lala=1;
	l--,l/=k,r/=k,len=r-l;
	for(int i=len,x,y;i>=1;i--){
		x=l/i,y=r/i;
		f[i]=(power(y-x,n)-y+x)%mod;
		if(f[i]<0) f[i]+=mod; 
		for(int j=i<<1;j<=len;j+=i) f[i]=((f[i]-f[j])%mod+mod)%mod;
	}
	printf("%d\n",f[1]+lala);
	return 0;
}

　　

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By NeighThorn