蓝桥杯 历届试题 PREV-34 矩阵翻硬币

Posted 2020-09-05 C3Stones

历届试题 矩阵翻硬币  

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问题描述

　　小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。

　　随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。

　　对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬币进行翻转。

　　其中i和j为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从1开始。

　　当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。

　　小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M寻求帮助。

　　聪明的小M告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次Q操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。

输入格式

　　输入数据包含一行，两个正整数 n m，含义见题目描述。

输出格式

　　输出一个正整数，表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。

样例输入

2 3

样例输出

1

数据规模和约定

　　对于10%的数据，n、m <= 10^3；
　　对于20%的数据，n、m <= 10^7；
　　对于40%的数据，n、m <= 10^15；
　　对于10%的数据，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。

 

题目解析：　　

　　1、从题目得知，如果一个硬币被翻转了奇数次后为正面朝上，那么它原始的状态一定是反面朝上。因此，我们需要统计所有翻转了奇数次硬币的个数。

　　2、题目中的 “ 对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬币进行翻转 ”。我们可以试着逆向思索，对于一个横坐标为X的硬币而言，我们翻转那些硬币会影响到它而使它翻转呢？由此我们可以得出，当翻转的硬币的横坐标为X的约数时，会影响到它的翻转。比如，X=9，那么翻转横坐标为 1、3、9的时候会影响到它的翻转。纵坐标情况同理。

　　 　对于一个硬币，我们必须考虑到它的横坐标和纵坐标。假如，此硬币的横坐标翻转了5次，纵坐标翻转了6次，那么它总的翻转次数为 5 * 6 = 30 次。因此我们得到一个公式：总翻转次数 (count) = 横坐标翻转次数 (count_x) * 纵坐标翻转次数 (count_y)。我们一开始就指出，我们需要找到翻转了奇数次的硬币，因此，横坐标翻转次数和纵坐标翻转次数均为奇数时，总翻转次数才为奇数次。

　　3、接下来我们需要考虑，哪些数有奇数个约数呢？答案是完全平方数。它为 1,4,9,16,25,36...... 即n的2次方，n为从1开始的正整数。

　　　 从题目中得知，此时是一个 n * m 的矩阵，行号和列号都是从1开始。因此我们需要解决 1 到 n 之间完全平方数个数的问题。方法是求出sqrt(n)，然后对它取整，即 1 - n 之间总共由于 (int)(sqrt(n)) 个完全平方数。因此，反面朝上硬币的个数为横纵坐标完全平方数个数相乘，即 (int)((sqrt(n)) * (sqrt(m))) 。

　　4、由于此题的数据是超大规模的。因此，我们需要解决大数开方、大数相乘和大数比较等问题。

　　　 通常使用 String 来接受键盘输入大数，因为它的长度比较容易控制。而使用 java.math.BigInteger 包中的 BigInteger 类来存储大数据。它的原则是，只要计算机有足够的的内存，它就能存储多长位数的数。

　　　大数开方： 牛顿逼近法。

　　　　　　　　如果一个数的位数为偶数，那么这个数的方根就有 n/2 位，如果一个数的位数为奇数，这个数的方根就有 n/2 + 1 位。

　　　　　　　　比如 num=1000 ，那么它的位数为 4 ，即方根就有 2 位。我们从方根的最高位进行枚举。

　　　　　　　　　　先枚举出它的十位：

　　　　　　　　　　　　10 * 10 = 100 < 1000

　　　　　　　　　　　　20 * 20 = 400 < 1000

　　　　　　　　　　　　30 * 30 = 900 < 1000

　　　　　　　　　　　　40 * 40 = 1600 > 1000

　　　　　　　　　　则这个根的十位为 3 。

　　　　　　　　　　再枚举它的个位：

　　　　　　　　　　　　31 * 31 = 961 < 1000

　　　　　　　　　　　　32 * 32 = 1024 > 1000

　　　　　　　　　　则这个根的个位为 1 。即这个根为 31 。

　　　大数相乘： 调用 java.math.* 包中的 multiply 方法。比如 bigNum1.multiply(bigNum2)

　　　大数比较： 调用 java.math.* 包中的 compareTo 方法，随第一个参数小于，等于或大于第二个参数返回负整数、零或正整数。比如 "2".compareTo ("3")

 

示例代码：

 1 import java.io.BufferedReader;
 2 import java.io.IOException;
 3 import java.io.InputStreamReader;
 4 import java.math.BigInteger;
 5 import java.util.Arrays;
 6 
 7 public class Main {
 8     public static void main(String[] args) throws IOException {
 9         BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
10         String[] str = br.readLine().split(" ");
11         String n =     str[0];
12         String m =     str[1];
13         BigInteger answer = (bigSqrt(n)).multiply(bigSqrt(m));   //sqrt(n) * sqrt(m)  1-n之间的完全平方数的个数 * 1-m之间完全平方数的个数
14         System.out.println(answer);
15     }
16     //  求1 - num 之间完全平方数的个数
17     private static BigInteger bigSqrt(String num) {
18         int length = num.length();     //被开方数的位数
19         int sqrt_len = 0;            //开方数的位数
20         if(length % 2 == 0){
21             sqrt_len = length / 2;
22         }else{
23             sqrt_len = length / 2 + 1;
24         }
25         BigInteger beSqrtNum = new BigInteger(num);
26         char[] ch = new char[sqrt_len];            //记录开方数，开房数在数组中逆序存放
27         Arrays.fill(ch, ‘0‘);                      //将ch数组初始化为‘0‘
28         for(int i = 0; i < sqrt_len; i++){         //从开房数的最高位开始计算，使 每一位都转化为 开方数的平方且不大于被开方数
29             for(char j = ‘1‘; j <= ‘9‘; j++ ){
30                 ch[i] = j;
31                 String s = String.valueOf(ch);
32                 BigInteger sqrtNum = new BigInteger(s);
33                 BigInteger squareNum = sqrtNum.multiply(sqrtNum);
34                 if(squareNum.compareTo(beSqrtNum) == 1){     //大数比较问题
35                     ch[i] -= 1;
36                     break;
37                 }
38             }
39         }
40         return new BigInteger(String.valueOf(ch));
41     }
42 }