ACdream 1083 有向无环图dp

Posted 2020-06-17

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人民城管爱人民

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Problem Description

一天GG正在和他的后宫之中的一个的MM在外面溜达，MM突然说了一句，“我想吃鸡蛋灌饼”……当他们吃的正high的时候。城管出现了！作为传说中的最强军事力量，卖鸡蛋灌饼的小贩在他们面前也仅仅算是战力为的5的渣滓，一秒钟就被秒杀了……

在这场屠杀中。GG和他的后宫本来仅仅是围观群众，可是不幸的是，城管看到了GG胃里的鸡蛋灌饼。他们要逮捕GG！可是GG显然不能让他们如愿，于是GG带着后宫開始了往大运村的逃亡之旅。

整个地图有n个路口。灌饼摊在0号路口。大运村在n-1号路口。有m条仅仅能单向通过的道路连接这n个路口，每条道路用一个正整数表示走过须要的时间。整个地图没有环路，但两个路口之间可能有多条通路。

如今GG希望以最短的时间到大运村，但不幸的是。城管为了抓住他动用了卫星对他进行空中跟踪，并且会在某一时刻空降到某一条道路上进行封锁（封锁会在瞬间完毕。可惜动静太大了GG也能在第一时间知道哪条道路被封锁了），之后这条路就无法通过了。

在整个行动中仅仅会出现一次空降。并且不会在GG经过这条道路的时候进行封锁，也就是说，不会在GG在某条路上走了一半的时候封锁这条路。并且，城管们希望尽可能的延缓GG到达大运村的时间。

如今GG希望知道。自己多久能到达大运村。方便安排之后和其它后宫的约会。

注意两方是以博弈的思想来进行选择。即GG希望时间最短，城管希望时间最长。并且他们都很聪明会做出最佳的选择。

Input

输入第一行为数据组数T（T<=30）。

每组数据第一行包括两个整数n,m（2<=n<=10000，1<=m<=100000），表示路口数和道路数。

之后m行描写叙述了全部的道路，每行有三个整数u,v,w（0<=u,v<n。0<w<=1000），表示路口u到路口v有一条须要w时间走过的道路。

Output

对于每组数据输出一个整数。表示GG最后到达大运村须要的时间。假设GG无法到达大运村，输出-1。

Sample Input

2
5 6
0 1 1
1 2 1
2 4 1
1 4 3
0 3 2
3 4 1
3 4
0 1 1
0 1 2
1 2 3
1 2 4

Sample Output

4
5

Source

Dshawn

思路：

1、首先这个dp一定是逆向拓扑序(把全部边反向进行拓扑排序），这样我们在计算u点时，通过有向边(u->v)把u点的状态从v点转移过来。能保证v点一定是已计算过的

2、用dis[i]表示i点到终点的最短路。dp[i]表示i点到终点的删边最短路(这里所谓的删边。删除的边是在i-终点的路径上）

3、那么我们设GG站在u点，通过u->v的边把状态从v转移过来。

4、计算dis[u]比較easy，就是min(dis[v]+edge[i].dis)

5、计算dp[u]：依据定义dp[u] 是删边最短路，则删除的边是在u-终点的路径上，那么显然有2种情况

  1）删除u-v这样的与u相连的边

  2）删除v-终点上的边

对于2）：那么GG有主动权，显然是选择edge[i].dis + dp[v] 中最小的（我们设这个最小值为smin）

对于1）：军队拥有主动权，军队一定选择删掉一条边，那么删完以后GG自然还是选择走最短路，也就是GG仅仅能选择edge[i].dis+dis[v] 中次小值（设这个值为dmin

这里注意的是。军队拥有的主动权是能够随意选择一条边，所以dp[u]=max(dmin, smin)

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<set>
#include<queue>
#include<math.h>
#include<map>
using namespace std;
#define N 10050
#define M 100500
#define inf 10000000
struct Edge{
	int from, to, dis, nex;
}edge[M<<1];
int head[N], edgenum;
void add(int u, int v, int d){
	Edge E={u,v,d,head[u]};
	edge[edgenum] = E;
	head[u] = edgenum++;
}

int n,m;
int sp[N], in[N];
void topsort(){//把图进行拓扑序
	queue<int>q;
	for(int i = 0; i < n; i++)if(in[i]==0)q.push(i);
	int top = 0;
	while(!q.empty()){
		int u = q.front(); q.pop();
		sp[top++] = u;
		for(int i = head[u]; ~i; i = edge[i].nex)if(i&1){
			int v = edge[i].to;
			in[v]--;
			if(!in[v])q.push(v);
		}
	}
}
int dp[N][2], a[M];//dp[u][0]表示1到u的最短路 dp[u][1]表示1到u的次小最短路
void work(int u){
	if(u == n-1){ dp[u][0] = dp[u][1] = 0; return ; }
	int top = 0, smin = inf;
	for(int i = head[u]; ~i; i = edge[i].nex)if(!(i&1)){
		int v = edge[i].to;
		dp[u][0] = min(dp[u][0], dp[v][0]+edge[i].dis);
		smin = min(smin, dp[v][1]+edge[i].dis);
		a[top++] = dp[v][0] + edge[i].dis;
	}
	if(top<2){dp[u][1] = inf; return ;}
	int fir = a[0], sec = a[1];
	if(fir>sec)swap(fir,sec);
	for(int i = 2; i < top; i++){
		if(a[i]<=fir)
			sec = fir, fir = a[i];
		else sec = min(sec, a[i]);
	}
	dp[u][1] = max(smin, sec);
}
void init(){memset(head, -1, sizeof head);edgenum = 0;}
int main(){
	int T, i, j, u, v, d;scanf("%d",&T);
	while(T--){
		init();
		memset(in, 0, sizeof in);
		scanf("%d %d",&n,&m);
		while(m--){
			scanf("%d %d %d",&u,&v,&d);
			add(u,v,d);
			add(v,u,d);
			in[u]++;
		}
		topsort();
		for(i = 0; i < n; i++)
			dp[i][0] = dp[i][1] = inf;

		for(i = 0; i < n; i++)
			work(sp[i]);
		if(dp[0][1]==inf)dp[0][1] = -1;
		printf("%d\n",dp[0][1]);
	}
	return 0;
}