稳定婚姻问题(Stable Marriage Problem)

Posted 2020-09-04 Pic

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稳定婚姻是组合数学里面的一个问题。

问题大概是这样：有一个社团里有n个女生和n个男生，每位女生按照她的偏爱程度将男生排序，同时每位男生也按照自己的偏爱程度将女生排序。然后将这n个女生和n个男生配成完备婚姻。

如果存在两位女生A和B，两位男生a和b，使得A和a结婚，B和b结婚，但是A更偏爱b而不是a，b更偏爱A而不是B，则这个婚姻就是不稳定的，A和b可能背着别人相伴而走，因为他俩都认为，与当前配偶比起来他们更偏爱各自的新伴侣。

如果完备婚姻不是不稳定的，则称其是稳定的。通过证明，可以得到每一个n女n男的社团，都存在稳定婚姻的结论。但是这种情况只在异性的社团中存在。也就是说在同性的社团里面，稳定婚姻的存在性将不再被保证。

Gale-Shapley 算法

while  存在男人m是自由的且还没对每个女人都求过婚
      选择这个男人m
                令w是m的优先表中还没求过婚的最高排名的女人
        if  w是自由的 
            （m，w）变成约会状态
        else  w当前与m1约会
              if  w更偏爱m1而不爱m
                                  m保持自由
              else    w更偏爱m而不爱m1
                                        （m，w）变成约会状态
                    m1变成自由
              endif
                  endif
endwhile

下面是两道关于 稳定婚姻问题 的题目:

1. ZJU 1576 Marriage is Stable

2. NKU 1710 帅小伙子和漂亮姑娘

3. PKU 3487 The Stable Marriage Problem