修路方案（次小生成树）

Posted 2020-06-17

修路方案

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难度：5

 

描述

南将军率领着许多部队，它们分别驻扎在N个不同的城市里，这些城市分别编号1~N，由于交通不太便利，南将军准备修路。

现在已经知道哪些城市之间可以修路，如果修路，花费是多少。

现在，军师小工已经找到了一种修路的方案，能够使各个城市都联通起来，而且花费最少。

但是，南将军说，这个修路方案所拼成的图案很不吉利，想让小工计算一下是否存在另外一种方案花费和刚才的方案一样，现在你来帮小工写一个程序算一下吧。

 

输入

第一行输入一个整数T(1<T<20)，表示测试数据的组数 每组测试数据的第一行是两个整数V,E，(3<V<500,10<E<200000)分别表示城市的个数和城市之间路的条数。数据保证所有的城市都有路相连。 随后的E行，每行有三个数字A B L，表示A号城市与B号城市之间修路花费为L。

输出

对于每组测试数据输出Yes或No（如果存在两种以上的最小花费方案则输出Yes,如果最小花费的方案只有一种，则输出No)

样例输入

2
3 3
1 2 1
2 3 2
3 1 3
4 4
1 2 2
2 3 2
3 4 2
4 1 2

样例输出

No
Yes
题解：让找是否存在多个最小生成树；枚举每条不在最小生成树中的边，添加这条边到树中，形成一个环，再删除环中不是这条边的最大边；看是否与最小生成树的权值和相等；存在就是yes
大神的解释：

解题思路：花费最少且任意两个城市能够相同，则说明要求最小生成树。而题目中问是否存在另外一种方案，达到

最小生成树的效果，所以可以采用次小生成树

常用的一种方法就是在求出最小生成树的基础上进行添加边

具体实现：先用prim算法求出最小生成树，并且统计任意一点到其他各点的路径上的最大边权。然后添加改生成树上没有的边（u,v），添加一条边后就会形成环，

然后删除该环中权值大二大的边（即除(u,v)之外的最大权值的边），然后再次统计此时的的费用，如果和最小生生成树的费用相同，则说明存在另外一种方案。

其中：

mp！=-1代表不在最小生成树中的边，mx[i][j]代表i到j的最大边，主判断sum-mx[i][j]+mp[i][j]==sum

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define SI(x) scanf("%d",&x)
#define PI(x) printf("%d",x)
typedef long long LL;
const int MAXN=520;
int mp[MAXN][MAXN];
int mx[MAXN][MAXN];
int vis[MAXN];
int N,sum;
vector<int>vec;
void prim(int sx){
    mem(vis,0);
    vis[sx]=1;
    vec.push_back(sx);
    int u,v;
    while(vec.size()<N){
        int temp=INF;
        for(int i=0;i<vec.size();i++){
            int x=vec[i];
        //    printf("%d\n",x);
            for(int j=1;j<=N;j++){
                
                if(!vis[j]&&mp[x][j]!=-1){
                    if(temp>mp[x][j]){
                        temp=mp[x][j];
                        u=x;
                        v=j;
                    //    printf("u=%d v=%d\n",u,v);
                    }
                }
            }
        }
        for(int i=0;i<vec.size();i++){
            int x=vec[i];
        //    printf("u=%d v=%d\n",u,v);
            if(mx[x][u]<mp[u][v])mx[x][v]=mx[v][x]=mp[u][v];
            else mx[x][v]=mx[v][x]=mx[x][u];
            
        }
        vec.push_back(v);
        vis[v]=1;
        sum+=mp[u][v];
        mp[u][v]=mp[v][u]=-1;
        //printf("%d %d %d\n",u,v,vec.size());
    }
}
int main(){
    int E,T;
    SI(T);
    int a,b,c;
    while(T--){
        mem(mp,-1);mem(mx,-1);
        SI(N);SI(E);
        while(E--){
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
                mp[a][b]=mp[b][a]=c;
                mx[a][b]=mx[b][a]=c;
        }
        sum=0;
        vec.clear();
        prim(1);
        bool ans=false;
        for(int i=1;i<=N;i++){
            if(ans)break;
            for(int j=1;j<=N;j++){
                if(mp[i][j]!=-1){
                    if(sum-mx[i][j]+mp[i][j]==sum){
                        ans=true;break;
                    }
                //    else printf("mx[%d][%d]=%d\n",i,j,mx[i][j]);
                }
            }
        }
        if(ans)puts("Yes");
        else puts("No");
    }
    return 0;
}