次小生成树

Posted 2021-02-04 bcoier

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生成树的概念：

在一个无向图中，设顶点数为(n)，取其中(n-1)条边并使所有点相连，所得到的一棵树即为生成树。

最小生成树：

如果还没有接触过生成树的同学，欢迎戳->最小生成树详解

次小生成树：

次小生成树顾名思义，就是边权之和次小的一棵生成树。有严格次小生成树与非严格次小生成树之分。

尽管这个算法的名字叫做次小生成树，不过其实可以理解成一道数据结构

次小生成树可以和次短路径一起理解，有兴趣的同学可以做做模板题

非严格次小生成树的边权之和不一定要比最小生成树的小，即 (Σw)次≤(Σw)最

严格次小生成树的边权之和一定要比最小生成树的小，即(Σw)次＜(Σw)最

想要求出次小生成树？

显然我们可以dfs求出所有的生成树，在排序选出严格次小的就可以了。

但是上述方法显然不能快速求出次小生成树

为了快速的求出来次小生成树，我们需要知道一个结论：次小生成树和最小生成树之间只有一条边的差异。

这一条结论为什么是正确的呢？

我们先来看看(Kruskal)是怎么求最小生成树的

(Kruskal)是按照边权排序，按照贪心的思路一条一条的加进树边，所以如果要求出次小生成树，那么我们可以放弃一条小的边不选，加入另一条边使图联通。

如果我们"放弃"了两条边，那么只"放弃"一条边的生成树的边权和显然小于"放弃"两条边的生成树的边权和。

所以求出（非）严格次小生成树的朴素算法为：先建立一棵最小生成树。再枚举删去最小生成树上的每一条路径，再在新构成的生成树中选出一棵边权之和最小生成树的即可。

时间复杂度为(O(nmlogm))。当然这种算法还不够优秀，我们可以继续优化

非严格次小生成树我们可以这样优化：

枚举边的时候，枚举没有被并入到最小生成树的边（我们将把这条边加入到生成树中，显然现在的图形不再是一棵树，所以我们要原图中删去一条最大边，使新图仍然联通）

加入边权值为(W1)。查询树上每一条的路径，在路径选取一个边权最大值(W2)。则当前枚举的答案为(W?W2+W1)（W为最小生成树的边权之和）

枚举所有的边之后，取最小值即可。

我们可以用倍增/树剖/LCT来实现查询树上最大值的操作，故复杂度为：(O(mlogn))

再来看看严格次小生成树

不难发现：求非严格最小生成树时，枚举一条边(W1)，之后再寻找一条生成树上的最大边(W2)

显然(W1≥W2)，因此可能由此得到的次小生成树并非严格。所以我们可以在每次查询时，需要找到严格次小的(W1)，即(W1>W2)，这样我们就可以得到严格次小生成树了。

维护仍可以用倍增或者树剖思想。

这里介绍树剖的思路：

先用线段树维护区间最小值与严格次小值，如果是叶子节点最大值就设为他本身，次大值设为0

合并的时候把两个区间的这四个值（两个最大值与两个次大值）排序，再寻找最大值与严格次小值即可。

严格次小生成树模板题

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register
#define il inline
#define int long long //把所有int转成longlong
#define debug printf("Now is line %d
",__LINE__);
il int read()
{
    re int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
    return x*f;
}//快读 
#define maxm 300005
#define inf 12345678900000000
#define maxn 100005
struct Edge{int u,v,w,next;}e[maxm<<1];
struct qj{int ma,ma2;}q[maxn<<2];
struct Edge1
{
    int u,v,w;
    bool operator <(const Edge1 &x) const{return w<x.w;}//按照边权排序 
}edge[maxm];
int n,m,vis[maxm],ans=inf,head[maxn],cnt,fa[maxn],mtree;
il void add(int u,int v,int w)
{
    e[++cnt].v=v;
    e[cnt].w=w;
    e[cnt].next=head[u];
    head[u]=cnt;
}//前向星加边
namespace smallesttree
{
    il int find(int x)
    {
        while(x!=fa[x]) x=fa[x]=fa[fa[x]];
        return x;
    }//并查集找祖先 
    il void init()
    {   
        for(re int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i; //预处理并查集 
        for(re int i=0;i<m;i++) edge[i].u=read(),edge[i].v=read(),edge[i].w=read();
    }
    il void kruskal()
    {
        init();
        sort(edge,edge+m);
        re int T=0;
        for(re int i=0;i<m;++i)
        {
            re int eu=find(edge[i].u),ev=find(edge[i].v);//寻找祖先
            if(eu!=ev)
            {
                add(edge[i].u,edge[i].v,edge[i].w),add(edge[i].v,edge[i].u,edge[i].w);
                mtree+=edge[i].w;//记录子树大小 
                fa[ev]=eu;//合并 
                vis[i]=1;//标记该边为树边 
                if(++T==n-1) break;//边数等于节点数+1即为一颗树 
            }
        }
    } 
}
//求出最小生成树
namespace treecut
{
    int dep[maxn],father[maxn],top[maxn],W[maxn],a[maxn],size[maxn],son[maxn],seg[maxn],col;
    //dep:深度 father:父亲节点 top:重链的顶端 W:到根节点的距离 a:点的权值 size:子树大小 son:重儿子 seg:在线段树中的序号（dfs序） 
    il void dfs1(int u,int fr)
    {
        dep[u]=dep[fr]+1;
        size[u]=1;
        father[u]=fr;
        for(re int i=head[u];i;i=e[i].next)
        {
            re int v=e[i].v;
            if(v!=fr)
            {
                W[v]=W[u]+e[i].w;//W为每一个点到根节点的距离 
                dfs1(v,u);
                size[u]+=size[v];
                if(size[v]>size[son[u]]) son[u]=v;
            }
        }
    }//预处理出dep、size、father以及son 
    il void dfs2(int now,int fi)
    {
        top[now]=fi;
        seg[now]=++col;
        a[col]=W[now]-W[father[now]];//a为点的权值（它与之父亲节点边的权值）（相当于前缀和） 
        if(!son[now]) return;
        dfs2(son[now],fi);
        for(re int i=head[now];i;i=e[i].next)
        {
            re int v=e[i].v;
            if(v!=son[now]&&v!=father[now]) dfs2(v,v);
        }
    }//预处理出每个节点的top、seg以及权值 
    //树剖模板就不解释了 
    #define ls k<<1
    #define rs k<<1|1
    il bool CMP(int a,int b){return a>b;}
    il int getse(int x,int g,int z,int c)
    {
        re int a[5]={x,g,z,c};
        sort(a,a+4,CMP);
        for(re int i=1;i<3;++i)
        {
            if(a[i]!=a[0]) return a[i];
        }
    }//找到两个区间的最大值和严格次大值（四个数）的最大值与严格次大值 
    // 就是合并两个区间的最大值和严格次大值
    il void build(int k,int l,int r)
    {
        if(l==r)
        {
            q[k].ma=a[l];
            return;
        }
        re int mid=(l+r)>>1;
        build(ls,l,mid),build(rs,mid+1,r);
        q[k].ma=max(q[ls].ma,q[rs].ma);
        q[k].ma2=getse(q[ls].ma,q[rs].ma,q[ls].ma2,q[rs].ma2);
    }//预处理出区间最大值与次大值 
    il qj query(int k,int l,int r,int ll,int rr)
    {
        if(ll>r||rr<l) return (qj){-inf,-inf};
        if(ll<=l&&rr>=r) return (qj){q[k].ma,q[k].ma2};
        re int mid=(l+r)>>1;
        re qj t1=query(ls,l,mid,ll,rr),t2=query(rs,mid+1,r,ll,rr);
        return (qj){max(t1.ma,t2.ma),getse(t1.ma,t2.ma,t1.ma2,t2.ma2)};
    }//查询区间的区间的最大值与次小值 
    il int LCA(int u,int v,int d)
    {
        re int need=-inf;
        while(top[u]!=top[v])
        {
            if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);
            qj temp=query(1,1,n,seg[top[u]],seg[u]);
            u=father[top[u]];
            need=max(need,(temp.ma==d)?temp.ma2:temp.ma);//严格次小边（如果temp.ma==k就是非严格次小） 
        }
        if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);//找到LCA 
        qj temp=query(1,1,n,seg[v]+1,seg[u]);
        return max(need,(temp.ma==d)?temp.ma2:temp.ma);//同上 
    }
    il void init()
    {
        dfs1(1,0),dfs2(1,1),build(1,1,n);
    }
}
//树链剖分 
signed main()
{
    n=read(),m=read();
    smallesttree::kruskal();//求出最小生成树
    treecut::init();//预处理
    for(re int i=0;i<m;++i)
    {
        if(vis[i]) continue;//枚举所有非树边（没有在最小生成树的边）
        re int temp=mtree/*最小生成树边权和*/+edge[i].w/*本来的树边的边权*/-treecut::LCA(edge[i].u,edge[i].v,edge[i].w)/*找到严格次小边的边权*/;
        if(ans>temp&&temp!=mtree+e[i].w/*其实就是严格此小边不为0（没有找到严格次小边）*/&&temp>mtree) ans=temp;
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}