bzoj3143 游走

Posted 2020-06-17

Description

一个无向连通图，顶点从1编号到N，边从1编号到M。 
小Z在该图上进行随机游走，初始时小Z在1号顶点，每一步小Z以相等的概率随机选 择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达N号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和。 
现在，请你对这M条边进行编号，使得小Z获得的总分的期望值最小。

Input

第一行是正整数N和M，分别表示该图的顶点数 和边数，接下来M行每行是整数u，v(1≤u,v≤N)，表示顶点u与顶点v之间存在一条边。 输入保证30%的数据满足N≤10，100%的数据满足2≤N≤500且是一个无向简单连通图。

Output

仅包含一个实数，表示最小的期望值，保留3位小数。

每个点i走到的期望次数x[i]=(i==1?1:0)+sigma(x[j]/o[j]) (j!=n , i到j有边)

o[j]为j的度

高斯消元解出每个x[i]

边(a,b)走过的期望次数为(a==n?0:x[a]/o[a])+(b==n?0:x[b]/o[b])

按边走过的次数从大到小排序并顺序编号

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
int n,m,a,b;
std::vector<int>es[512];
double xs[512][512],ys[512],x[512],ans=0;
int o[512];
inline bool is0(double x){return x<1.0e-10&&x>-1.0e-10;}
inline bool isn0(double x){return x>=1.0e-10||x<=-1.0e-10;}
struct edge{
    int a,b;
    double v;
}e[250000];
int ep=0;
bool operator<(edge a,edge b){
    return a.v>b.v;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    while(m--){
        scanf("%d%d",&a,&b);
        es[a].push_back(b);
        es[b].push_back(a);
        o[a]++;o[b]++;
        e[ep].a=a;e[ep++].b=b;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++)xs[i][j]=0;
        xs[i][i]=-1;
        for(int j=0;j<es[i].size();j++){
            int u=es[i][j];
            if(u!=n)xs[i][u]+=1.0/o[u];
        }
        ys[i]=0;
    }
    ys[1]=-1;
    for(int t=1;t<=n;t++){
        if(is0(xs[t][t]))
        for(int i=t+1;i<=n;i++){
            if(isn0(xs[i][t])){
                for(int j=t;j<=n;j++){double v=xs[i][j];xs[i][j]=xs[t][j];xs[t][j]=v;}
                double v=ys[i];ys[i]=ys[t];ys[t]=v;
            }
        }
        double c=1.0/xs[t][t];
        for(int i=t;i<=n;i++)xs[t][i]*=c;
        ys[t]*=c;
        for(int i=t+1;i<=n;i++){
            if(isn0(xs[i][t])){
                double k=xs[i][t];
                for(int j=t;j<=n;j++){
                    xs[i][j]-=xs[t][j]*k;
                }
                ys[i]-=ys[t]*k;
            }
        }
    }
    for(int t=n;t;t--){
        for(int i=t+1;i<=n;i++){
            ys[t]-=xs[t][i]*x[i];
        }
        x[t]=ys[t];
    }
    for(int i=0;i<ep;i++){
        e[i].v=0;
        if(e[i].a!=n)e[i].v+=x[e[i].a]/o[e[i].a];
        if(e[i].b!=n)e[i].v+=x[e[i].b]/o[e[i].b];
    }
    std::sort(e,e+ep);
    for(int i=0;i<ep;i++)ans+=e[i].v*(i+1);
    printf("%.3lf\n",ans);
    return 0;
}