Foreign开锁 [概率DP]

Posted 2020-09-02 BearChild

开锁

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MB

Description

　　

Input

　　

Output

　　

Sample Input

　　4
　　5 1
　　2 5 4 3 1
　　5 2
　　2 5 4 3 1
　　5 3
　　2 5 4 3 1
　　5 4
　　2 5 4 3 1

Sample Output

　　0.000000000
　　0.600000000
　　0.900000000
　　1.000000000

HINT

　　

Main idea

　　一个宝箱内有一个可以开启别的宝箱的钥匙，可以选择k个宝箱，询问能开启所有宝箱的概率。

Solution

　　我们一看就知道这是一道概率DP的题目。

　　我们发现，每个宝箱有一个对应的钥匙，那么显然若干个宝箱会构成一个环，只要开了一个环中的一个宝箱就可以开启这个环。

　　那么我们要求的就是：在n个数中选k次，已知每个环的大小，选中环中的一个元素即视为选中了这个环，问每个环都被至少选了一次的概率。

　　显然直接记概率不好计算，于是我们可以算出可行的方案数。

　　我们先求出每个环的大小，然后令 f[i][j] 表示前 i 个环选了 j 个元素的方案数，那么显然可以枚举这一个环中选了几个，那么显然有：

　　然后我们最后用 f[num][k] / 总方案数 C(n,k) 即可。注意要用double来存，否则数字不够大。

Code

 1 #include<iostream>
 2 #include<string>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstdio>
 5 #include<cstring>
 6 #include<cstdlib>
 7 #include<cmath>
 8 using namespace std;  
 9 
10 const int ONE=310;
11  
12 int T,n,k;
13 int a[ONE],vis[ONE],cnt;
14 int ring[ONE],num;
15 int record;
16 double C[ONE][ONE];
17 double f[ONE][ONE];
18 
19 int get()
20 {    
21         int res=1,Q=1;char c;
22         while( (c=getchar())<48 || c>57 )
23         if(c==\'-\')Q=-1;
24         res=c-48;
25         while( (c=getchar())>=48 && c<=57 )
26         res=res*10+c-48;
27         return res*Q;
28 }
29 
30 void Solve()
31 {
32         n=get();    k=get();
33         
34         for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=get(),vis[i]=0;
35         num=0;
36         for(int i=1;i<=n;i++)
37         {
38             if(vis[i]) continue;
39             int x=i;
40             cnt=0;
41             for(;;)
42             {
43                 vis[x]=1; x=a[x]; cnt++;
44                 if(x==i) break;
45             }
46             ring[++num]=cnt;
47         }
48         
49         memset(f,0,sizeof(f));
50         f[0][0]=1; record=0;
51         for(int i=1;i<=num;i++)
52         {
53             record+=ring[i];
54             for(int j=1;j<=record;j++)
55             {
56                 for(int x=1;x<=ring[i] && x<=j;x++)
57                 {
58                     f[i][j] += f[i-1][j-x] * C[ring[i]][x];    
59                 }
60             }
61         }
62         
63         cout<<(double)f[num][k]/C[n][k]<<endl;
64 }
65 
66 int main()
67 {
68         C[0][0]=1;
69         for(int i=1;i<=300;i++)
70         {
71             C[i][0]=1;
72             for(int j=1;j<=300;j++)
73             C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
74         }
75         
76         T=get();
77         while(T--)
78             Solve();
79         
80 }

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