征途（bzoj 4518）

Posted 2020-09-02 Cola

Description

Pine开始了从S地到T地的征途。

从S地到T地的路可以划分成n段，相邻两段路的分界点设有休息站。

Pine计划用m天到达T地。除第m天外，每一天晚上Pine都必须在休息站过夜。所以，一段路必须在同一天中走完。

Pine希望每一天走的路长度尽可能相近，所以他希望每一天走的路的长度的方差尽可能小。

帮助Pine求出最小方差是多少。

设方差是v，可以证明，v×m^2是一个整数。为了避免精度误差，输出结果时输出v×m^2。

 

Input

第一行两个数 n、m。

第二行 n 个数，表示 n 段路的长度

 

Output

 一个数，最小方差乘以 m^2 后的值

 

Sample Input

5 2
1 2 5 8 6

Sample Output

36

HINT

1≤n≤3000,保证从 S 到 T 的总路程不超过 30000

/*
  先吐槽一波数据，n=2146，只有2143个数的输入也是没谁了，害的我找了半天错误！
  设m天走过的路程分别是a1,a2...am，平均数为p=dis[n]/m
  化简一波式子 ans=Σ((ai-p)*(ai-p))*m*m=m*Σ(ai*ai)-dis[n]*dis[n]
  f[i][j]表示第i天走到j地的最小 Σai*ai
  首先求出动态转移方程 f[i][j]=min(f[i][k]+(dis[j]-dis[k])^2)
  可以斜率优化，化简上式可得，若k1比k2更优，则有：
  (dis[k1]^2-dis[k2]^2+f[i-1][k1]-f[i-1][k2])/(dis[k1]-dis[k2])>dis[j]*2
*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define N 3010
#define lon long long
using namespace std;
lon dis[N],f[N][N];int n,m,q[N];
lon read(){
    lon num=0,flag=1;char c=getchar();
    while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘)flag=-1;c=getchar();}
    while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){num=num*10+c-‘0‘;c=getchar();}
    return num*flag;
}
double lv(int i,int k1,int k2){
    return double(dis[k1]*dis[k1]-dis[k2]*dis[k2]+f[i-1][k1]-f[i-1][k2])/double(dis[k1]-dis[k2]);
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x=0;scanf("%d",&x);
        dis[i]=dis[i-1]+(lon)x;
    }
    memset(f,127/3,sizeof(f));
    int h,t;f[0][0]=0;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        h=0;t=0;q[0]=0;
        for(int j=1;j<=n;j++){    
            while(h<t&&lv(i,q[h+1],q[h])<=dis[j]*2)
                h++;
            f[i][j]=f[i-1][q[h]]+(dis[j]-dis[q[h]])*(dis[j]-dis[q[h]]);
            while(h<t&&lv(i,j,q[t])<=lv(i,q[t],q[t-1])) t--;
            q[++t]=j;
        }
    }
    cout<<f[m][n]*m-dis[n]*dis[n];
    return 0;
}