约瑟夫问题

Posted 2020-09-02 bennettz

 T2437 对刚！（模拟题）（入门难度）

https://www.luogu.org/problem/show?pid=T2437

题目背景

hwh在军训。教官一言不合就想干人！

题目描述

教官让n个同学按照编号1至n顺时针围成一圈，从一号开始顺时针报数，报到t的人直接被教官干掉，拖到圈子外面。然后从他的下一位同学开始接着报数，hwh为了伸张正义，决定搞个大新闻，他要和教官对刚，，为了有充分时间准备，他决定站在最后一个被教官干掉的地方，你需要求出这是第几个位置。

输入输出格式

输入格式：

 

一行两个数 n，t。

 

输出格式：

 

一行一个数表示答案。

 

输入输出样例

输入样例#1：

3 2

输出样例#1：

3

说明

①对于 30% 的数据，满足n ≤ 100

②对于 100% 的数据，满足n ≤ 100000,1 ≤ t ≤ 100

我们知道第一个人（编号一定是（m-1）) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m mod n的人开始）：

k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2

并且从k开始报0。

我们把他们的编号做一下转换：

k --> 0

k+1 --> 1

k+2 --> 2

...

...

k-2 --> n-2

变换后就完完全全成为了（n-1）个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x‘=(x+k) mod n

如何知道（n-1）个人报数的问题的解？对，只要知道（n-2）个人的解就行了。（n-2）个人的解呢？当然是先求（n-3）的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式

f[1]=0;

f[i]=(f[i-1]+m) mod i; (i>1）

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1

由于是逐级递推，不需要保存每个f，程序也是异常简单：

#include<cstdio>
int main()
{
    int n,m,f = 0;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) f = (f + m) % i;
    printf("%d",f+1);
}