微积分 01 - 数学的屠龙刀

Posted 2020-06-17

　　说到微积分，所有人都不陌生，上过大学的人基本都被它上过，每学期都有无数人挂在那棵高高的树上……。文科生在《大学数学》里窥探了它的容颜，工科生在《高等数学》里与它邂逅，而理科生则在《数学分析》中看清了它的真面目。但说实话，相比较其它抽象的数学学科，微积分算是非常直白的了，它研究的对象也是也是我们直观能感受的。之所以大家觉得困难，其实还是没有养成“问题式”的学习习惯，而只是一味地试图去理解并记忆。

　　我在博客中也一直强调，任何数学学科其实就是：（1）抽象出要讨论的对象并对之严格定义；（2）分析对象要讨论的基本问题，并从定义出发思考解决；（3）将对象、方法和结论推广到更一般的场景中。这其实是数学学习、研究的基本素养，抛开公式定理去讨论基本问题，你会发现一般教材中不会出现很多艰深的理论，而只是一些基本问题的基本结论罢了。

　　好了，我们说回微积分，严格说它被分为微分学（Differentiation）和积分学（Integration），它们之间本来是风马牛不相及的，但自从牛顿、莱布尼兹将它们牵手后，微分、积分就白头偕老、长相厮守了。积分思想出现地非常早，它其实就是将整体看成是无数的分块拼凑而成。早在古希腊时代，万能的阿基米德就利用积分思想解决了很多求面积、体积的问题，他墓碑上的球和圆柱，就是为了纪念他引以为豪的结论。但是为了避开“无穷”和“极限”的概念，在得出结论后，阿基米德使用了其它方法来论证。

　　在文艺复兴时期，代数学的成熟、解析学和函数的发展，已经提出并研究了非常多的实际问题，微分的思想也已经是大家熟知的方法。后来大家都知道了，牛顿、莱布尼兹几乎同时发现了微积分的关系，从此这门学科便算是产生了。至于牛、莱二人那场导致英国与欧洲大陆决裂的撕逼大战，你可以在网上找到它的详细内容，读来也颇为有趣。这种优先权的论战，在数学史上其实屡见不鲜，有些数学思想到了该破壳而出的时候，有多个人同时发现它也并不奇怪。我们现在沿用的是莱布尼茨的符号体系，它更能准确表达微积分的思想。

                         

   Newton（1643-1727）                          Leibniz（1646-1716）

　　牛顿、莱布尼兹完成了奠基仪式后，接下来的一百年微积分的发展几乎一手遮天，它不仅内容丰富、涵盖广泛，而且在各领域都得到了重要的应用。微积分的发现开启了现代数学的序幕，那一百年被称为是“英雄的年代”，因为有大片的疆域被发掘，并且还有更多的宝藏处露端倪。历史上涌现出了大批了优秀数学家，欧拉、伯努利家族、法国学派等无数大牛筑建了微积分的宏伟大厦。

　　但激情过后总是一股莫名的空虚，因为人们对那鬼魅一样的“无穷小”已经无法忍受，必须对它给出一个严格的定义。由此，微积分的疯狂发展也是伴随着“第二次数学危机”一同前进的，直到十九世纪初“极限”理论的提出人们才把这颗不安的心放下。这就又回到了之前《集合论》和《实数系统》的课程，也正是有了这两个拦路虎，我才迟迟没有拿起微积分的书。关于微积分概念和思想的发展史，最详尽透彻的当属参考资料[10]，学习历史对数学同样重要。

　　在解决了基本的问题后，微积分还衍生出了很多独立的分支：微分方程、向量分析、复分析等等，这些学科往往被统称为分析数学（Analysis），它是数学最大的一个分支。在近代数学大融合的时期，数学分析更是在其它不相干的分支里，发挥着令人惊叹的作用。当然我们还是稍安勿躁，本篇博客我只打算学习微积分的基本内容，仅包括一元微积分、多元微积分、级数理论三大块。一般的微积分和数学分析教材都以这些内容为主体，但也会介绍一些扩展性的知识，那些内容被我划分到了其它分支里，这里将不作介绍。

　　现在越来越感到，想要面面俱到几乎是不可能的。原来想参考更多的资料，以使得博客内容更加全面、更有高度，但精力实在是不够。往往是参考一两本书后就开始写了，那也没办法，只能说等以后回头来慢慢精进了。知识和思想本来就不是一簇而就的，心再大也还是要脚踏实地，列这些参考书也是给自己一个提醒。

 

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【前序学科】 实数系统、解析几何

【参考资料】

[1] 《微积分教程（一~三）》（8th），菲赫金哥尔茨，2006

　　微积分教父级的教程，虽然年代比较久远，但其经典地位至今仍然无法撼动，国内几乎所有的教材都是以它为蓝本的，内容丰富全面，篇幅巨大。大量的例题和应用举例，理论和应用结合紧密。

[2] 《数学分析教程（上、下）》，许绍缚, 宋国柱，2000

　　这是我本科时使用的教材，由任课老师撰写，虽然名气不大，但个人非常推崇，也是本博客的主要参考书。教材行文严谨、编排合理、论证深入浅出，涵盖了数学分析中基础且重要的结论，并且对部分内容有扩展介绍。课本精选了很多例题和习题，难度分布合理，值得仔细思考和研习。

[3] 《数学分析（一~三）》，伍胜健，2009

[4] 《数学分析（一~三）》，徐森林，2005

[5] 《数学分析教程（一~三）》，常庚哲，2003

[6] 《数学分析（上、下）》，欧阳光中，2007

[7] 《数学分析（上、下）》，陈纪修，2003

　　这几套也是国内比较优秀的教材，可以按自己的喜好选择。

[8] 《数学分析讲义（一~三）》，陈天权，2010

　　这本教材更偏重高级内容，大量篇幅延伸到后续的学科，可以选择进阶阅读。

[9] 《吉米多维奇数学分析习题集题解（1~6）》（4th），费定晖，2012

　　苏联人写的习题集，你懂的：题量巨大。它也是数学分析最著名的一本习题集，通往分析学科研必做的一套，老师跟我们说田刚做过一遍。对于普通学生，最好还是挑一些练练手好了，而且做题最好不要看答案。有部分题目十分难，难到出书的人都不会。

[10] 《微积分概念发展史》（The History of the Calculus and Tts Conceptual Development），B.B. Boyer，2007

　　非常老但却十分经典的微积分思想史，书中更偏重介绍数学思想的进化史。内容有一定深度，而不是一本故事书，故需先有学科基础，对提高数学的认知非常有帮助。