微积分 01 - 数学的屠龙刀

Posted

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了微积分 01 - 数学的屠龙刀相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

  说到微积分,所有人都不陌生,上过大学的人基本都被它上过,每学期都有无数人挂在那棵高高的树上……。文科生在《大学数学》里窥探了它的容颜,工科生在《高等数学》里与它邂逅,而理科生则在《数学分析》中看清了它的真面目。但说实话,相比较其它抽象的数学学科,微积分算是非常直白的了,它研究的对象也是也是我们直观能感受的。之所以大家觉得困难,其实还是没有养成“问题式”的学习习惯,而只是一味地试图去理解并记忆。

  我在博客中也一直强调,任何数学学科其实就是:(1)抽象出要讨论的对象并对之严格定义;(2)分析对象要讨论的基本问题,并从定义出发思考解决;(3)将对象、方法和结论推广到更一般的场景中。这其实是数学学习、研究的基本素养,抛开公式定理去讨论基本问题,你会发现一般教材中不会出现很多艰深的理论,而只是一些基本问题的基本结论罢了。

  好了,我们说回微积分,严格说它被分为微分学(Differentiation)和积分学(Integration),它们之间本来是风马牛不相及的,但自从牛顿、莱布尼兹将它们牵手后,微分、积分就白头偕老、长相厮守了。积分思想出现地非常早,它其实就是将整体看成是无数的分块拼凑而成。早在古希腊时代,万能的阿基米德就利用积分思想解决了很多求面积、体积的问题,他墓碑上的球和圆柱,就是为了纪念他引以为豪的结论。但是为了避开“无穷”和“极限”的概念,在得出结论后,阿基米德使用了其它方法来论证。

  在文艺复兴时期,代数学的成熟、解析学和函数的发展,已经提出并研究了非常多的实际问题,微分的思想也已经是大家熟知的方法。后来大家都知道了,牛顿、莱布尼兹几乎同时发现了微积分的关系,从此这门学科便算是产生了。至于牛、莱二人那场导致英国与欧洲大陆决裂的撕逼大战,你可以在网上找到它的详细内容,读来也颇为有趣。这种优先权的论战,在数学史上其实屡见不鲜,有些数学思想到了该破壳而出的时候,有多个人同时发现它也并不奇怪。我们现在沿用的是莱布尼茨的符号体系,它更能准确表达微积分的思想。

技术分享                         技术分享

   Newton(1643-1727)                          Leibniz(1646-1716)

  牛顿、莱布尼兹完成了奠基仪式后,接下来的一百年微积分的发展几乎一手遮天,它不仅内容丰富、涵盖广泛,而且在各领域都得到了重要的应用。微积分的发现开启了现代数学的序幕,那一百年被称为是“英雄的年代”,因为有大片的疆域被发掘,并且还有更多的宝藏处露端倪。历史上涌现出了大批了优秀数学家,欧拉、伯努利家族、法国学派等无数大牛筑建了微积分的宏伟大厦。

  但激情过后总是一股莫名的空虚,因为人们对那鬼魅一样的“无穷小”已经无法忍受,必须对它给出一个严格的定义。由此,微积分的疯狂发展也是伴随着“第二次数学危机”一同前进的,直到十九世纪初“极限”理论的提出人们才把这颗不安的心放下。这就又回到了之前《集合论》和《实数系统》的课程,也正是有了这两个拦路虎,我才迟迟没有拿起微积分的书。关于微积分概念和思想的发展史,最详尽透彻的当属参考资料[10],学习历史对数学同样重要。

  在解决了基本的问题后,微积分还衍生出了很多独立的分支:微分方程、向量分析、复分析等等,这些学科往往被统称为分析数学(Analysis),它是数学最大的一个分支。在近代数学大融合的时期,数学分析更是在其它不相干的分支里,发挥着令人惊叹的作用。当然我们还是稍安勿躁,本篇博客我只打算学习微积分的基本内容,仅包括一元微积分、多元微积分、级数理论三大块。一般的微积分和数学分析教材都以这些内容为主体,但也会介绍一些扩展性的知识,那些内容被我划分到了其它分支里,这里将不作介绍。

  现在越来越感到,想要面面俱到几乎是不可能的。原来想参考更多的资料,以使得博客内容更加全面、更有高度,但精力实在是不够。往往是参考一两本书后就开始写了,那也没办法,只能说等以后回头来慢慢精进了。知识和思想本来就不是一簇而就的,心再大也还是要脚踏实地,列这些参考书也是给自己一个提醒。

 


【前序学科】 实数系统、解析几何

【参考资料】

[1] 《微积分教程(一~三)》(8th),菲赫金哥尔茨,2006

  微积分教父级的教程,虽然年代比较久远,但其经典地位至今仍然无法撼动,国内几乎所有的教材都是以它为蓝本的,内容丰富全面,篇幅巨大。大量的例题和应用举例,理论和应用结合紧密。

[2] 《数学分析教程(上、下)》,许绍缚, 宋国柱,2000

  这是我本科时使用的教材,由任课老师撰写,虽然名气不大,但个人非常推崇,也是本博客的主要参考书。教材行文严谨、编排合理、论证深入浅出,涵盖了数学分析中基础且重要的结论,并且对部分内容有扩展介绍。课本精选了很多例题和习题,难度分布合理,值得仔细思考和研习。

[3] 《数学分析(一~三)》,伍胜健,2009

[4] 《数学分析(一~三)》,徐森林,2005

[5] 《数学分析教程(一~三)》,常庚哲,2003

[6] 《数学分析(上、下)》,欧阳光中,2007

[7] 《数学分析(上、下)》,陈纪修,2003

  这几套也是国内比较优秀的教材,可以按自己的喜好选择。

[8] 《数学分析讲义(一~三)》,陈天权,2010

  这本教材更偏重高级内容,大量篇幅延伸到后续的学科,可以选择进阶阅读。

[9] 《吉米多维奇数学分析习题集题解(1~6)》(4th),费定晖,2012

  苏联人写的习题集,你懂的:题量巨大。它也是数学分析最著名的一本习题集,通往分析学科研必做的一套,老师跟我们说田刚做过一遍。对于普通学生,最好还是挑一些练练手好了,而且做题最好不要看答案。有部分题目十分难,难到出书的人都不会。

[10] 《微积分概念发展史》(The History of the Calculus and Tts Conceptual Development),B.B. Boyer,2007

  非常老但却十分经典的微积分思想史,书中更偏重介绍数学思想的进化史。内容有一定深度,而不是一本故事书,故需先有学科基础,对提高数学的认知非常有帮助。

以上是关于微积分 01 - 数学的屠龙刀的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

2018OKR年中回顾 转

人工智能数学基础01--高等数据基础(导数与微积分)02

人工智能数学基础01--高等数据基础(导数与微积分)02

人工智能数学基础01--高等数据基础(导数与微积分)02

人工智能数学基础01--高等数据基础(导数与微积分)02

大清朝数学家写的微积分教材,堪称天书!