BZOJ2227ZJOI2011看电影 [组合数学][质因数分解]

Posted 2020-09-01 BearChild

看电影

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Description

　　到了难得的假期，小白班上组织大家去看电影。但由于假期里看电影的人太多，很难做到让全班看上同一场电影，最后大家在一个偏僻的小胡同里找到了一家电影院。但这家电影院分配座位的方式很特殊，具体方式如下： 1. 电影院的座位共有K个，并被标号为1…K，每个人买完票后会被随机指定一个座位，具体来说是从1…K中等可能的随机选取一个正整数，设其为L。 2. 如果编号L的座位是空位，则这个座位就分配给此人，否则将L加一，继续前面的步骤。 3. 如果在第二步中不存在编号L的座位，则该人只能站着看电影，即所谓的站票。小白班上共有N人（包括小白自己），作为数学爱好者，小白想知道全班都能够有座位的概率是多少。

Input

　　输入文件第一行有且只有一个正整数T，表示测试数据的组数。 第2～T+1行，每行两个正整数N,K，用单个空格隔开，其含义同题目描述。

Output

　　输出文件共包含T行。第i行应包含两个用空格隔开的整数A,B，表示输入文件中的第i组数据的答案为A/B。（注意，这里要求将答案化为既约分数）

Sample Input

　　3
　　1 1
　　2 1
　　2 2

Sample Output

　　1 1
　　0 1
　　3 4

HINT

　　对于100%的数据 T<=50,N,K<=200

Main idea

　　有n个人，k个位置，询问按照以下坐法使得所有人都有位置坐的概率是多少。（坐法：每个人随机一个位置，如果这个位置有人那一直就往后坐，如果后面都有人了则不可行）

Source

　　运用组合数学，首先我们知道n个人k个位置的总方案数是k^n，然后我们考虑一下怎么求出可行的方案，发现直接做的话无解与有解的两个情况不好考虑，怎么办呢？

　　我们发现可以考虑一下多加一个空位置使其构成一个环，那么这时候每个位置都必定是有解的，方案数就是(k+1)^n。再考虑如何删掉重复的情况，由于我们加入了一个位置，那么除去经过这个位置的情况显然是方案数/(k+1)，那么现在方案数就是(k+1)^n/(k+1)，然后乘上有几个空位置即可。最后答案就是：( (k+1)^n/(k+1)*(k+1-n) ) / (k^n)。

　　我们发现这个现在求出来的方案数比较大，但是又看见了n,k<=200，想到了数字n的质因数和n^k的质因数是一样的（所以这时候质因数肯定都是200以内的质数），所以我们乘的时候直接质因数分解，然后两个数字的质因数去重，最后用一个高精度乘起来输出即可。

Code

  1 #include<iostream>  
  2 #include<algorithm>  
  3 #include<cstdio>  
  4 #include<cstring>  
  5 #include<cstdlib>  
  6 #include<cmath>  
  7 using namespace std;  
  8       
  9 const int ONE=201;
 10  
 11 int T;
 12 int n,k;
 13 int prime[ONE],cnt;
 14 int p[ONE][3];
 15 int record,x;
 16  
 17 struct power
 18 {
 19         int num[10001],len;
 20         void print()
 21         {
 22                 for(int i=len;i>=1;i--)
 23                 printf("%d",num[i]);
 24         }
 25          
 26         friend power operator *(power a,power b)
 27         {
 28             power c;
 29             c.len=a.len+b.len;
 30             for(int i=1;i<=c.len;i++) c.num[i]=0;
 31              
 32             for(int i=1;i<=a.len;i++)
 33             {
 34                 x=0;
 35                 for(int j=1;j<=b.len;j++)
 36                 {
 37                     c.num[i+j-1]=c.num[i+j-1] + x + a.num[i]*b.num[j];
 38                     x=c.num[i+j-1]/10;
 39                     c.num[i+j-1]%=10;
 40                 }
 41                 c.num[i+b.len]=x;
 42             }
 43              
 44             while(c.len>1 && !c.num[c.len]) c.len--;
 45             return c;
 46         }
 47 }kd[3],pass;
 48  
 49 void dealwith(int x)
 50 {
 51         for(int i=1;i<=pass.len;i++) pass.num[i]=0;
 52         pass.len=0;
 53         while(x)
 54         {
 55             pass.num[++pass.len]=x%10;
 56             x/=10;
 57         }
 58 }
 59  
 60 int get()    
 61 {    
 62         int res=1,Q=1;char c;    
 63         while( (c=getchar())<48 || c>57 ) 
 64         if(c==\'-\')Q=-1; 
 65         res=c-48;     
 66         while( (c=getchar())>=48 && c<=57 )    
 67         res=res*10+c-48;    
 68         return res*Q;    
 69 }         
 70  
 71 int PD(int x)
 72 {
 73         for(int i=2;i<x;i++)
 74         if(x%i==0) return 0;
 75         return 1;
 76 }
 77  
 78 int Chai(int x,int PD)
 79 {       
 80         if(x==1) return x;
 81         for(int i=1;i<=cnt;i++)
 82         {
 83             if(!(x%prime[i]))
 84             {
 85                 p[prime[i]][PD]++;
 86                 x=Chai(x/prime[i],PD);
 87                 break; 
 88             }
 89         }
 90         return x;
 91 }
 92  
 93 int Deal(int x,int m,int PD)
 94 {
 95         record=1;
 96         for(int i=1;i<=m;i++)
 97         {
 98             record*=x;
 99             record=Chai(record,PD);
100         }
101          
102         if(PD==1)
103         {
104             record*=(x-m-1);
105             record=Chai(record,PD);
106         }
107          
108         p[record][PD]++;
109 }
110  
111 int main()
112 {
113         T=get();
114         for(int i=2;i<=200;i++)
115         if(PD(i)) prime[++cnt]=i;
116          
117         while(T--)
118         {
119             n=get();    k=get();
120             if(n>k)
121             {
122                 printf("0 1\\n");
123                 continue;
124             }
125              
126             memset(p,0,sizeof(p));
127             Deal(k+1,n-1,1);    Deal(k,n,2);
128             for(int i=1;i<=200;i++)
129             {
130                 int x=min(p[i][1],p[i][2]);
131                 p[i][1]-=x; p[i][2]-=x;
132             }
133              
134             kd[1].len=kd[2].len=1;
135             kd[1].num[1]=kd[2].num[1]=1;
136             for(int i=1;i<=cnt;i++)
137             {
138                 dealwith(prime[i]);
139                 for(int t=1;t<=2;t++)
140                 for(int j=1;j<=p[prime[i]][t];j++)
141                 kd[t]=kd[t]*pass;
142             }
143              
144             kd[1].print(); printf(" ");
145             kd[2].print(); printf("\\n");
146              
147         }
148 }

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