长链剖分随想

Posted 2020-08-31 MoebiusMeow

　　之前写了那么长一篇Blog…现在不如写篇小短文…说一下另一种树链剖分方法——长链剖分的事情。它可以比重链剖分更快地完成一些东西。

　　树链剖分的原始版本重链剖分非常经典，这里就不从头介绍了。

　　原本的剖分方法是按照子树大小剖分，与子树点数最多的儿子连成链，所以叫做重链剖分…然后显然就有一个点到根的路径上至多$O(\log n)$条轻边这个性质（因为沿着轻边走，每次子树大小一定小于父亲的一半）。有了这个性质就可以做各种路径相关的查询，暴力每次跳到重链开头就好…

　　而在一些问题里，有这么一种奇妙的剖分方式可以取得更好的效果。那就是按照子树深度剖分，与最深的儿子连成链。之前一直不知道这个应该怎么叫，直到冬令营上听到敦敦敦提到“长链剖分”这个词，我才知道这个应该这么叫…

　　我所知道的长链剖分才能做的应用有两个，一个是$O(n)$统计每个点子树中可合并的以深度为下标的信息；另一个是经过一些预处理，单次$O(1)$在线查询一个点的$k$级祖先。

 

　　先说一下第一个：$O(n)$统计每个点子树中可合并的以深度为下标的信息。（如某深度的点数，点权和，最值）

　　暴力的做法是$O(n^2)$的，因为一个点的多个子树的信息我们无法快速合并，合并复杂度可以达到$O(n)$。

　　但是我们对于重链剖分的方法可以想出一个$O(n \log n)$的方法：自底向上统计，对于每个点，让它继承自己的重儿子的信息，然后我们暴力遍历其它子树并统计信息。这样做的话，每个点会在它到根路径上的$O(\log n)$条轻边被计算的时候被遍历，所以总复杂度是$O(n \log n)$的。

　　看起来这个已经很优了，而且我们也用上了轻边数量这个性质，感觉没有浪费什么东西。再想想的话可以发现，其中遍历其它子树这一步有点浪费，因为我们统计的是可合并的以深度为下标的东西，我们其实只要循环一遍其他子树已经统计出来的信息就好了，这样我们的代价就不是子树大小而是深度了。但是这样还是不够的，复杂度没有变化。不过我们注意到继承重儿子这一点现在看起来就不是那么完美了，因为我们只需要深度为下标的信息，但是重链剖分是按照点数为标准的，所以我们可能继承了一个连出很多点但是深度很浅的扫把形重儿子，而其它轻儿子虽然点数不多，但是可能深度反而更深，所以可能选一个轻儿子更优。所以我们改变策略，选择继承子树最深的儿子的信息，然后循环其它子树的深度把信息统计到这个点上。

　　这样的复杂度是什么呢？如果我们仍然按照上面的方法分析，我们发现我们的复杂度可能不太对，因为到根路径上的轻边数量不再有保证了。但是如果我们换一种方法考虑就可以得到一个很好的复杂度。我们考虑每个子树被作为轻儿子暴力统计的代价，代价是它的深度，而它的深度其实就是它为顶端的长链的长度。每个点都是一个长链的开头，而所有长链都是不相交的，也就是说所有子树被作为轻儿子暴力统计的代价和是$O(n)$的。而被作为重儿子统计的代价，因为父亲直接继承了它的数组，所以每个点是$O(1)$的。于是我们就可以用$O(n)$的复杂度统计一棵树的每棵子树内的可合并的以深度为下标的信息。

 

　　然后是第二个：经过一些预处理，单次$O(1)$在线查询一个点的$k$级祖先。

　　先说一下别的做法…可以离线的话，我们显然有一个非常水的总时间$O(n+q)$的单次询问$O(1)$的做法…DFS过程中直接找栈里的某一个即可。

　　不能离线的话也有一些传统做法。比如重链剖分，还是根据$O(\log n)$条轻链的性质，如果$k$级组先就在当前重链上则直接找到，否则往上一条重链跳。复杂度$O(\log n)$

　　还有一种就是树上倍增，预处理出每个点的$2^0,2^1,2^2,...,2^{\log n}$级祖先，然后询问的时候我们考虑$k$的二进制表示，每次往为1的那些位的祖先上跳（可以看作用若干个$2^i$的和表示$k$）。这样预处理的复杂度是$O(n \log n)$，询问的复杂度是$O(\log n)$。总体上比重链剖分还差。

　　还有另外一个相比起来复杂度比较糟糕的做法，就是记录一个点往上的前$\sqrt{n}$级祖先，询问的时候暴力往上跳，显然预处理的复杂度是$O(n \sqrt{n})$，单次询问$O(\sqrt{n})$。

　　如果我们想突破到单次询问$O(1)$，我们依靠不了重链剖分这种经典做法。它对于它的思想来说已经相当优了，没有什么改进的空间。树上倍增的特点是，可以一步跳很远，但是如果要精准地跳到第$k$级，就一定要遍历$k$的每一个二进制位。而我们想出第三种做法的基本思路是，如果我们对每个点都维护它的所有祖先，我们就能$O(1)$回答询问。但是实际上$O(n^2)$的空间复杂度和预处理复杂度是不能承受的，于是我们折中地选择根号。

　　注意到如果我们查询的$k$大于很多个$\sqrt{n}$的话，我们是一步一步跳$\sqrt{n}$级跳上去的，效率很低。这时我们其实可以考虑用树上倍增来优化。树上倍增要精准跳到$k$级祖先复杂度比较高的问题可以用第三种做法的特点来弥补。如果$k$在$\sqrt{n}$以内的话，我们可以$O(1)$跳过去。这样做的结果是什么呢？其实不太好，我们花了高昂的$O(n \sqrt{n})$的代价预处理，得到的结果仅仅是查询时我们不再需要遍历最低的几个二进制位。

　　但是这种思想还是可以继续沿用的，接下来就是长链剖分出场的时候了。我们的目的是，让树上倍增进行尽量少的跳跃后就可以通过其他信息找到$k$级祖先。我们首先可以像重链剖分一样维护一下每条长链，然后我们往上跑，求出长链顶端往上长链长度这么多级的祖先。这样做的时空复杂度仍然是$O(n)$。这样有什么用？这样做以后，我们的树上倍增只用跳最大的一步。

　　显然这个最大的一步的长度必定大于$k/2$，于是我们跳到的那个点往下的长链长度至少就有$k/2$，所以就算$k$级祖先不在这条长链上，也一定可以从我们跳到的那个点的已知信息里直接求到（因为剩下的步数已经小于$k/2$了，预处理的祖先长度$=$往下的长链长度$>k/2$）。于是我们只要再预处理出对于每个数，它最大的二进制位是多少，我们就可以$O(1)$地求出任意一个点的$k$级祖先了。（不过树上倍增的预处理复杂度仍然是$O(n \log n)$，所以只有询问个数很多的时候才能有明显的效果）

 

　　我所知道的长链剖分的应用只有这两个…如果有人知道什么其它不用长链剖分的做法，或者长链剖分的其他的神奇应用的话，欢迎在下面留言。