[算法学习] 长链剖分

Posted 2021-03-03 wlzhouzhuan

简介

长链剖分是跟dsu on tree类似的小(trick)，可以资瓷维护子树中只与深度有关的信息。
并能达到线性的时间复杂度。

算法流程

对于每个点，记录重儿子(heavy[u])表示深度最大的儿子，其余作为轻儿子。
这样我们可以得到若干条互不相交的长链。
在维护信息的过程中，我们先(O(1))继承重儿子的信息，再暴力合并其余轻儿子的信息。
因为每一个点仅属于一条长链，且一条长链只会在链顶位置作为轻儿子暴力合并一次，所以复杂度是线性的。
但是我们发现，这个数组仿佛开不下（大雾），所以我们需要想想办法来解决。
有一个比较巧妙的方法，就是利用指针来实现。
下面以一道题为例。

CF1009F Dominant Indices

题目链接：CF1009F Dominant Indices

Description

给定一个以 (1) 为根， (n) 个节点的树。
设 (d(u,x)) 为 (u) 子树中到 (u) 距离为 (x) 的节点数。
求对于每一个点，最小的 (k) ，使得 (d(u,k)) 最大。
数据范围 (1le nle 10^6)。

Solution

我们先考虑如何暴力做。
定义(f_{u,i})表示在 (u) 的子树内，到 (u) 的距离为 (i) 的点的个数。
那么，我们不难推出转移方程： (f_{u,0}=1,f_{u,i}=sum_{vin son(x)}f_{v,i-1})。
复杂度：(O(n^2))，需要进行优化。
我们定义(heavy[u])表示深度最大的儿子，(len[u])表示(x)到儿子的最长距离。
不难发现(dp)第二维的 (i) 肯定不超过 (len[u])。
为避免数组存不下的问题，我们采用指针来代替，即对于每条长链的链顶给它一个长度为(len[x])的内存。
这样的好处在于，对于一条长链，我们可以直接让父亲点从子节点那里继承答案。
对于非重儿子的点，我们暴力合并链即可。
很显然，每条链只会被合并一次，因此复杂度是线性的。
复杂度：(O(n))，可以通过本题。

Code