Ctsc2011幸福路径

Posted 2020-08-30 №〓→龙光←

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2306

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给定一张有向图，每个点有权值，蚂蚁从某个节点出发，初始体力值为$1$，每走一条边$体力值*=p$，每经过一个点会获得幸福值为$点权*体力值$，求最大幸福值。即求

${\sum _{i=0}^{\infty }w[i]*p^{i}}$且${U(i-1,i)=1}$其中${U(A,B)}$表示是否存在A到B这样一条路径。

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正解是一个叫做倍增Floyed的东西。

其实就是说考虑到步数是可以走无限步的，我们只需要知道一个近似值，而精度要求也还是比较高的，考虑用倍增的方法快速确定精度。
令${f[i][j][k]}$表示从第$i$个点走到第$j$个点，期间走了${2^{k}}$步。

那么可以利用Floyed进行如下转移：
$${f[i][j][k]=max(\forall (f[i][t][k-1]+f[t][j][k-1]*p^{2^{k}}))}$$

注意$k$这一维是可以滚动的。

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 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<vector>
 5 #include<cstdlib>
 6 #include<cmath>
 7 #include<cstring>
 8 using namespace std;
 9 #define maxn 110
10 #define inf 0x7fffffff
11 #define llg long long 
12 #define yyj(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout);
13 llg n,m,S;
14 double p,ans,a[maxn],f[maxn][maxn],g[maxn][maxn],tmp;
15 int main()
16 {
17     yyj("a");
18     cin>>n>>m;
19     for (llg i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&a[i]);
20     cin>>S>>p;
21     for (llg i=1;i<=n;i++)
22         for (llg j=1;j<=n;j++)
23             if (i!=j) f[i][j]=inf*-1;
24     for (llg i=1;i<=m;i++)
25     {
26         llg x,y;
27         scanf("%lld%lld",&x,&y);
28         f[x][y]=a[y];
29     }
30     llg T=50;
31     double tmp=p;
32     while (T--)
33     {
34         //tmp*=tmp;
35         for (llg i=1;i<=n;i++)
36             for (llg j=1;j<=n;j++)
37                 if (i!=j) g[i][j]=inf*-1;
38         for (llg k=1;k<=n;k++)
39             for (llg i=1;i<=n;i++)
40                 for (llg j=1;j<=n;j++)
41                     g[i][j]=max(g[i][j],f[i][k]+f[k][j]*tmp);
42         memcpy(f,g,sizeof f);
43         tmp*=tmp;
44     }
45     for (llg i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,f[S][i]);
46     printf("%.1lf\n",ans*p+a[S]); 
47     return 0;
48 }