bzoj2306: [Ctsc2011]幸福路径（倍增+Floyed 逼近答案）

Posted 2020-12-25 shaokele

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bzoj2306: [Ctsc2011]幸福路径

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Description

　　有向图 G有n个顶点 1, 2, …, n，点i 的权值为 w(i)。现在有一只蚂蚁，从给定的起点 v0出发，沿着图 G 的边爬行。开始时，它的体力为 1。每爬过一条边，它的体力都会下降为原来的 ρ 倍，其中ρ 是一个给定的小于1的正常数。而蚂蚁爬到某个顶点时的幸福度，是它当时的体力与该点权值的乘积。
　　我们把蚂蚁在爬行路径上幸福度的总和记为 H。很显然，对于不同的爬行路径，H 的值也可能不同。小 Z 对 H 值的最大可能值很感兴趣，你能帮助他计算吗？注意，蚂蚁爬行的路径长度可能是无穷的。
　

Input

　　每一行中两个数之间用一个空格隔开。
　　输入文件第一行包含两个正整数 n, m，分别表示 G 中顶点的个数和边的条数。
　　第二行包含 n个非负实数，依次表示 n个顶点权值 w(1), w(2), …, w(n)。
　　第三行包含一个正整数 v0，表示给定的起点。
　　第四行包含一个实数 ρ，表示给定的小于 1的正常数。
　　接下来 m行，每行两个正整数 x, y，表示<x, y>是G的一条有向边。可能有自环，但不会有重边。
　

Output

　　 仅包含一个实数，即 H值的最大可能值，四舍五入到小数点后一位。
　

Sample Input

　　5 5
　　
　　10.0 8.0 8.0 8.0 15.0
　　
　　1
　　
　　0.5
　　
　　1 2
　　
　　2 3
　　
　　3 4
　　
　　4 2
　　
　　4 5
　　

Sample Output

　　18.0
　　

HINT

　　对于 100%的数据， n ≤ 100， m ≤ 1000， ρ ≤ 1 – 10^-6， w(i) ≤ 100 (i = 1, 2, …, n)。
　　

题目地址：　　bzoj2306: [Ctsc2011]幸福路径

题目大意：

　　给定?张有向图，每个点有个权值，蚂蚁从某个点开始，初始体?为1，每经过?条边，体?会变为原来的p(0<p<1)倍，每爬到?个点，获得的幸福度为该点的权值乘上体?。求蚂蚁幸福度的最?值，保留?位?数。

题解：

　　考虑到体力衰减很快，所以我们只要做有限次数的如下 (dp) 即可
　　令 (f[t][i][j]) 表示? (2^t) 步，从 (i) ?到 (j) 获得的最?幸福度。
　　[f[t][i][j]=max(f[t-1][i][k]+f[t-1][k][j]*p^{2^{t-1}})]
　　当 (t) ?够?时， (f) 得到的就近似为最?的幸福值。
　　或者说当 (p<eps) 时，得到的就近似为最?的幸福值。

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AC代码

#include <cstdio> 
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=105;
int n,m,S;
double p,ans=0,val[N],f[N][N],g[N][N];
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lf",&val[i]);
    scanf("%d",&S);
    scanf("%lf",&p);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(i!=j)f[i][j]=-1e100;
    while(m--){
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        f[u][v]=val[v]*p;
    }
    for(;p>1e-10;p*=p){
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                g[i][j]=-1e100;
        for(int k=1;k<=n;k++)
            for(int i=1;i<=n;i++)
                for(int j=1;j<=n;j++)
                    g[i][j]=max(g[i][j],f[i][k]+f[k][j]*p);
        memcpy(f,g,sizeof(g));
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans=max(ans,f[S][i]);
    printf("%.1f
",ans+val[S]);
    return 0;
}