决策树模型在项目管理中的应用

Posted 2023-04-04

参考技术A 本章节主要讲述的是决策模型，通过决策模型在不确定的情况下做一些决策分析，来帮助我们进行更好的决定。在决策模型中最重要的就是决策树了，课程用决策树举了好几个例子：如购票，3时的票只要200元，4时的票要400元，通过及时赶上3点的火车机率是40%。如果赶不上就等于多买了3时的票，也就是多支付200元。通过决策树，对不确定的情况下，分别计划从而得出结论。
其它的例子还有投资，申请奖学金等。不过有意思的是，可以通过决策树推测出对这个几率的看法，举例是回家看父母，通过决策树的一轮推算，精确地知道到底有多想看望父母。

决策树模型的应用非常广泛，在PMP（项目管理）中就会经常用到，是作为项目风险管理的一种工具与技术。

在PMP中称为预期货币价值（EMV）分析，是当某些情况在未来可能发生或不发生时，计算结果的一种统计方法（不确定性下的分析）。可见决策树是基于不确性因素时中使用，如果一旦因素被确定下来，那么就是后面一节所讲的信息价值了。

再聊个实际的决策树案例
条件：某项目招标，分为A和B两个标段，只能投其中一个。
根据之前的经验，对这个项目有2种投标策略：
（1）投高标，中标机率是30%；
（2）投投标，中标机率是50%；
所以共有5种策略， A高标，A低标，B高标，B低标，不投；
据项目管理的资料统计，每种策略的利润和概率参见下表：

投标A不中，损失50万元，投标B不中，损失100万元。
那么投那个的收益更高呢？
决策树模型分析如下：

二叉树模型在公路 PPP 项目投资决策中的应用

     【摘　要】针对基建类投资公司采用传统现金流量折现模型进行 PPP 项目估值决策存在的问题，分析了二叉树模型在公路 PPP 估值决策应用的前提条件，构建了公路 PPP 项目二叉树估值决策模型，并选取 X 公路 PPP 项目进行应用分析。研究发现二叉树模型有效克服了传统估值模型的不足，在公路 PPP 项目估值决策应用中具备可操作性。研究结论在 X 公路 PPP 项目估值决策案例分析中得到了印证。针对研究结论，提出了 PPP 项目投资决策建议，以期为基建类投资公司科学投资 PPP 项目提供借鉴。 

     【关键词】PPP 项目　投资决策　价值评估　中国中铁　二叉树模型

       在全面建成小康社会的关键时期，公共财政支出逐年上升，为纾困地方公共财政支出压力，地方政府在不断创新 PPP 项目模式，以期引入更多社会资本参与公共基础设施建 [1]。中国中铁作为我国基础设施建设的中坚力量，以社会资本方的身份广泛参与 PPP 项目，为完善地方基础设施体系做出了突出贡献，诠释了央企的社会担当精神。首批 PPP 模式浪潮中，央企类社会资本方在对 PPP 项目进行投资决策时，主要采用“两评一案”评审要求下的现金流折现法进行估值决策，评估思路首先假定资本成本恒定，将 PPP 项目预期实体现金流按加权平均资本成本折现，这导致部分违约风险案例，PPP 项目投资可行性分析再次引起了社会资本方的重视。与房建、 城轨、管廊等业态相比，公路业态有明显的路衍经济效应，颇受社会资本方投资青睐。由于现金流量折现法没有充分考虑其建设周期长、路衍效应等不确定因素导致利率波动的情况，所测算的 PPP 项目价值与实际资产价值吻合度不佳，导致投资决策失误。受 2020 年新冠肺炎疫情影响，公路 PPP 项目的投资不确性将愈发突出，当社会资本方在投资决策中合理考虑这些不确定性时，期权的价值便应运而生，这为使用二叉树模型进行项目估值评估奠定了基础。 

       现有文献对该领域的研究可归纳为：第一，研究方法上，由定性研究方法逐渐发展至定量研究，定性研究集中在对风险因素进行测试和评估方面，定量研究集中在现金流量折现法和静态利差法方面；第二，研究假设上，最初的研究假设投资项目是一个静态过程，该假设在实物投资应用上有诸多不足，后续学者假设实物期权法是一种动态活 动，弥补了现金流量折现法不足；第三，应用领域 上，实物期权方法期初仅被学者作为一种思维方式提出来，期权理论研究发展，其在实物投资领域逐渐被应用，学者还讨论其在投资项目估值中的操作性 [2]。

       文章结合中国中铁投资公司对 PPP 投资项目财务评审工作需要，对二叉树价值评估模型进行适当改进，运用资本成本和项目全投资现金流量二叉树结构对对公路 PPP 项目进行应用研究，具有一定实务指导意义。

     一、传统风险投资项目估值决策方法

     （一）现金流量折现法 

      现金流折现法是目前最常用的项目价值评估方法，其基本思想是在不考虑未来利率波动的情况下， 将项目标的资产未来现金流以预期收益率直接折现回评估的时点，得出项目标的资产未来现金流现值 [3]。从实际运用上看，该方法存在一定局限，致使标 的资产价值与实际资产价值偏差很大，因为其没有考虑项目建设期和运营期间利率的波动性，也没有考虑项目存在提前或延期偿付等情况。现金流量折现法定价模型需满足项目的提前偿付率恒定且折现率保持稳定的假设。

     （二）静态利差法 

       静态利差法是在政府方可能提前偿付情况下， 假设项目标的未来收益率与无风险收益率曲线之间存在固定利差，以该预期收益率对未来现金流折现， 得出项目标的资产未来现金流现值。该方法所采用的折现率考虑静态利差，在一定程度上对冲了利率 波动情况。静态利差法在无风险收益率基准上加上固定利差作为项目资本成本，表示项目投资收益与国债收益的溢价。静态利差法与现金流折现法相比更加贴近项目估值决策情况，计算结果也相对合理， 但仍没有考虑运营期项目可能存在提前或延期偿付的问题。模型表达式如下： 

                      

式中：P 表示项目价值评估现值；CFi表示项目第 i 期预期实体现金流；表示第 i 期国债的收益率；SS 表示静态利差。 

      （三）期权调整利差法 

       期权调整利差法是对静态利差法的改进，将利率的期限结构和利率的波动性较好地结合，该方法先假定一个初始利差，用包含该利差的利率计算项目建设期和运营期的预期现金流，对其进行折现得到项目标的资产现值，将项目标的资产现值平均数与项目标的资产价格相比较，若二者相同，该利差就是期权调整利差。期权调整利差法考虑了项目运营期提前偿付的期权价值，考虑了资本成本波动性， 估值结果与项目标的资产实际价值吻合度进一步提高 [4]。理论上定价所用的期权调整利差是全部利差的平均值，但实际运用中往往只能选择一个利差值， 使得实际价值与理论价值存在偏差。模型表达式如下： 

                            

      式中：P 表示项目价值评估现值；OAS 表示期权调整利差；表示第 t 期的无风险利率；T 表示项目运营到期时间。

      二、二叉树估值决策模型应用前提 

       二叉树模型是实物期权法中的一种动态规划法， 以复制原理、风险中性原理、套期保值原理为理论指导，克服了传统现金流量折现法、静态利差法、 期权调整利差法缺陷，符合公路 PPP 投资项目周期 长、违约风险高、路衍效应大等特点 [5]。该模型在公路 PPP 项目估值决策运用中是有一定前提的，主要体现在以下三方面。

       （一）公路 PPP 投资项目具有实物期权

        公路 PPP 投资项目具有实物期权是运用二叉树模型的基础条件。期权的价值在于投资项目的不确定性，不确定越大，期权的价值也就越高。从现有 PPP 合同文本上看，公路 PPP 协议期限多为十年以上 , 投资项目建设周期和运营周期较长，资本投资量大且回收缓慢 [6]。在漫长合作期内，宏观经济环境、政府政策导向、地方财政承载力、项目运营收益等因素都可能发生变化，使得 PPP 项目面临诸多不确定性。在不确定投融资环境中，社会资本方享有的期权主要有增长期权、放弃期权、转换期权三种。此外，央企类社会资本方在公路 PPP 项 目建设过程中所塑造的品牌效应，也属于期权的一部分。 

      （二）公路 PPP 投资项目具有管理柔性 

       公路 PPP 投资项目具有管理柔性是运用二叉树模型的组织条件。管理柔性是一种动态的施工管理模式，主是指随着项目建设推进，社会资本方在建设期内可以根据项目情况变化去动态调整投资决策，决定是否继续追加投资。公路 PPP 投资项目的建设期长达数年，期间会受到各种不确定因素的影响， 最初投资所预测的各种风险与实际差异较大，诸如新冠肺炎等突发风险让决策者无从察觉。但时间的推移将会使得有效信息不断呈现，只有在项目进入运营期后，决策信息才能完全暴露，项目面临的不确定性也随之降低。在 PPP 项目建设期限内，社会资本方可依据内外环境的变化灵活调整投资策略， 在控制违约风险时用柔性管理方式合理考量项目的期权价值。 

      三、公路 PPP 项目二叉树投资决策模型构建 

      （一）基础模型表达 

       在二叉树估值中，假设是项目标的资产的期初价格，期末该价格可能上涨至 ，也可能下跌至 ， 上涨概率与下跌概率是P 和 1-P，如图 1 所示：

                                  

           

       二叉树估值模型的另一基本假设为风险中性假设，即假设社会资本方对待公路 PPP 投资项目风险的态度是中性的，项目投资预期收益不需要风险额外补偿，其预期收益率就是无风险收益率，有公式 （一）：

                                                        r=P×（u-1）+（1-p）×（d-1） （公式一） 

       对期末的期权价值用预期收益率即无风险收益率进行折现，可以得到期初的期权价值，具体见图 2 和公式二：

                                          

                                             

                         

       其中，σ 代表项目标的资产连续复利的标准差；t 代表以年表示的时间长度；e 为自然常数。

      （二）关键参数确定 

      1. 当前价值 。公路 PPP 投资项目的当前价值是指项目建设和运营期间 PPP 项目产生的净现金流量贴现到预测期初的价值，即 PPP 项目未来的实体现金流以一定的折现率折现到当前的价值。

       2. 执行价格 X。在公路 PPP 投资项目中，该期权执行价格等于 PPP 项目建设和运营期间的所有成 本，包括 PPP 项目的预先投入。执行价格的计算方法是将 PPP 项目实物资产投资时需要的现金流量折现到当前的价值。 

      3. 权利期间 t。在公路 PPP 项目中权利期间表示投资机会可以持续的有效时间，该有效时间与项目运营期长短有密切关系。项目持续的时间越长，投资者经营柔性也就越大，PPP 项目的价值也就越高。

      4. 无风险利率 r。无风险利率体现了资本的时间价值和机会成本，通常选用与公路 PPP 项目同期国债利率或者银行同业拆借利率作为无风险利率。

      5. 波动率 σ。波动率是衡量公路 PPP 投资项目期望收益率变动的主要指标，项目投资收益的波动率越大，项目未来收益现值的波动范围就就越大，实物期权的价值就越高。 

     （三）二叉树估值模型路径 

       二叉树模型在估算公路 PPP 项目价值时，将基期的营业收入作为起点，假设收入发展有两种可能， 即上升和下降，分别对应上行乘数 u 和下行乘数 d， 据此得到公路 PPP 项目第一期两种情形的收入数据， 第一期的收入继续按照此规律发展下去，则第二期有四种情形，其中有两种可能性的数值是相等的，转化为有三种可能，以此类推，构造出营业收入二叉树。基于营业收入二叉树，通过预测出未来公路 PPP 项目公司财务报表数据，并根据这些数据构造现金流量二叉树。假设预测期为 6 年（如图 3），那利用二叉树模型在第 6 年会预测出 6 种不同的现金流 量，代表公路 PPP 项目公司在第 6 年有 6 种不同的经营情况，分别将每一现金流量按照稳定期的永续增长模型折现到第 6 年，会得到 6 个不同的持续经营的 PPP 项目价值。

      （四）二叉树模型估值决策步骤 

       利用二叉树模型进行公路 PPP 投资项目估值决策主要有以下八个具体步骤：第一步，预测 PPP 项目公司未来财务指标主要数据；第二步，计算上行及下行乘数；第三步，计算上行及下行概率；第四步，构造利率二叉树结构；第五步，通过实体现金 流，构建现金流量二叉树结构，计算未修正的项目价值；第六步，计算加权平均资本成本，构建资本成本二叉树结构；第七步，通过相关公式依次往前折现，评估公路 PPP 项目公司价值；第八步，综合考虑相关因素，做出项目投资决策。 

     四、案例：二叉树模型在 X 公路PPP项目投资决策的应用 

     （一）X 公路 PPP 项目概况 

       X 公路 PPP 项目位于广东省境内，项目合作期 为 20 年，其中建设期为 3.5 年、运营期为 16.5 年， 项目性质为非经营性项目。项目采取“建设 - 运营 - 移交”的方式进行运作，由项目实施机构通过法定竞争程序，选定社会资本（中铁某投资公司作为牵头社会资本方）与政府指定的出资方合资组建项目公 司，项目公司在合作期内投资建设项目，并在建设完成后提供项目运营和维护服务，项目公司收益主要来源于政府付费。 

      根据 X 公路 PPP 项目最初的“两评一案”结果， 社会资本方参与该项目投资建设是可行的，但该项目由于投资期长、项目融资额较大、地方宏观经济周期性波动等因素，使得项目投资存在一定风险， 投资收益仍存在诸多不确定性因素 , 但不确定性的本 质是机会与威胁并存。综上，X 公路 PPP 项目适用 于充分考虑了不确定性因素的二叉树模型价值评估 模型。 

      （二）X 公路 PPP 项目投资决策过程

       1. 预测全投资现金流量 

       首先对 X 公路 PPP 项目公司进入运营期后 6 年的项目全投资现金流量进行预测，之所以只预测 6 年期而不是合作期 20 年的原因如下：第一，项目建设期间的税后净现金流为负数，不符合二叉树期权定价模型的数据要求；第二，考虑到宏观经济因素变化情况，项目进入运营期 6 年后的情况将难以预测，长期路衍效应产生的现金流预测的准确性较差；第三，实践表明 6 期二叉树模型较为稳定，精度较 高，符合公路 PPP 项目价值评估研究需要。X 公路 PPP 项目原“两评一案”预测未考虑路衍经济效应和诸如新冠肺炎疫情等不可抗力因素对现金流的影响， 本次预测时将其予以考虑。

       2. 确定上行与下行乘数 

       由于 X 公路 PPP 建设期为 3.5 年、运营期为 16.5 年，为多期二叉树期模型，需要调整上行乘数与下行乘数。上行乘数 ，下行乘数 d=1/u。其 中 t 为每期时间，文章以年为时间间隔单位，取 t 为 6 年。e 为自然常数，取数为 2.7183。σ 为标的资产价格标准差，文章使用 X 公路 PPP 项目公司成立以来的净经营资产收益率的标准差来代替价格波动的标准差，经计算 σ 的值为 0.126，代入公式可得 u=1.362，d=0.734。 

      3. 确定上行与下行概率 

      文章根据 X 公路 PPP 项目风险特质，参考了国内部分学者的做法，采用项目所在地主要商业银行一年期定期存款利率 2% 作为无风险收益率。将上行乘数 u=1.362，下行乘数 d=0.734 代入公式，计算处 上行概率 P=（1+2%-0.734）/(1.362-0.734)=0.455，下行概率 =1-p=（1.362-1-2%）/(1.362-0.734)=0.545 

      4. 构建利率二叉树结构

      文章结合项目所在地市政 PPP 项目预期收益率情况，参考了同期限的国债平均收益率，最终以 2% 作为无风险收益率，根据利率变化的上行乘数 u 与 下行乘数 d 构建利率二叉树结构。

       5. 构建现金流二叉树结构 

       文章以牛田洋 PPP 项目公司进入运营期第一年为基期，以所得税后净现金流量为基数，根据现金流变化的上行乘数 u 与下行乘数 d 构建现金流二叉树结构。

       6. 构建资本成本二叉树结构 

       文章采用资本资产定价模型确定股权资本成本，采用项目公司的税后债务利息成本确定债务资本成本。在估算股权资本成本中，以项目所在地主要股份制商业银行一年期定期存款利率 2% 作为无风险收益率，市场风险溢价为 6%，通过国泰安等金融数据库查找基建行业的 β 系数约为1.18，根据资本资产定价模型可求得股权资本成本 =2%+1.18*6%=9.08%，债务资本成本按照中国工商银行、国家开发银行给 X 公路 PPP 项目公司的利息成本 4.76% 计算，据此可计算出税后债务资本成本为 4.76%*75%=3.57%。目前项目公司债务与资本的融资比例安排，可大致计算出基期加权平均资本成本 =9.08%*1/4+3.57%*3/4=4.95%。根据加权平均资本成本变化的上行乘数 u 与下行乘数 d 构建资本成本二叉树结构。 

       7. 评估 X 公路 PPP 项目公司价值 

       根据上述步骤确定的参数，采用 6 期二叉树模型估算 X 公路 PPP 项目公司在进入运营期第 1 年的实体价值，具体计算结果见表 2。

       8. 做出 X 公路 PPP 项目投资决策 

      根据表 1 计算结果，如果只考虑 X 公路 PPP 项目公司进入运营期后 6 年的情况，按照相同期限的数据口径，根据原中介机构做出“两评一案”测算结果显示 X 公路 PPP 项目公司在 2022 年度的资产账面价值为 84 930 万元。文章通过二叉树模型计算得出 2022 年企业账面价值为 91 950 万元，评估增值 7020 万元，评估增值率为 8.27%，差异在资产评估准则规定的可接受范围之内，本次评估有效。从项目全投资现金流上看，X 公路 PPP 项目在 2022 年度的全投资现金流量为 51 793 万元，项目公司在 2022 年全投资现金流的评估结果为 40157 万元，这表明 X 公路 PPP 项目不确定风险比原“两评一案”预计的要高， 现金净流量下行的概率较大。

       利用六期二叉树模型评估的企业价值比原“两 评一案”是预计的结果高出 7 020 万元，但项目全投资现金流量减少了 11636 万元，这些差异符合资产评估准则规定的差异要求，该项目值得继续 投资。 

      五、结论与建议 

       针对基建类投资公司在 PPP 风险投资项目决策中单一使用传统现金流量折现模型存在的问题，采用六期二叉树模型对公路 PPP 项目估值决策进行应用分析，研究发现公路 PPP 项目的实物期权性和管理柔性特质是运用二叉树模型的前提，二叉树模型在 x 公路 PPP 项目投资决策应用中是可行的，该模型一定程度上克服传统估值决策方法不足，对社会资本方进行 PPP 项目投资决策具有指导意义。根据研究结论，结合 PPP 投资项目财务评审工作，对基建类投资公司进行 PPP 项目投资决策提出如下建议。（

       1）建议基建类投资主体在 PPP 项目价值评估中要因地制宜，应当根据被评估项目的业态特质，考虑政府方公共服务输出的特性，结合投资经验对模型进行必要调整校对，强化投资项目风险的前期管控。不要墨守成规，要积极探索一些类似二叉树模型的新方法，勇于尝试新的评估方法，科学应对传统现金流量折现评估结果不准确的问题。建议投资公司至少要采用两种以上的评估方法对 PPP 投资项目进行估值，多方参考，以此作为投资决策依据。 

      （2）建议基建类投资主体不要迷信 PPP 项目投资收益率测算，应理性思考 PPP 项目价值创造功效问题。对社会资本方而言，PPP 项目是创造价值还是在减损价值，不能单纯地看整个项目最终是否盈利， 这是传统的财务视角，没有考虑资本成本。考虑股权资本成本和债务资本成本，合理运用二叉树估值决策模型，只有全投资资本回报率大于项目资本成本，对社会资本而言才能创造价值，否则就是减损价值，这对投资决策具有重要参考价值。 

      【参考文献】

        [1] 彭迪 , 郭化林 . 基于复合实物期权模型的 PPP 项目价值评估 [J]. 中国资产评估 ,2019(10):37-40. 

        [2] 黄景驰 , 弗莱德·米尔 . 英国政府与社会资本合作 (PPP) 项目的决策体系研究 [J]. 公共行政评论 ,2016,9(02):4-24.

        [3] 曹启立 .PPP 股权投资估值 : 理论分析与应用举例 [J]. 价格理论与实践 ,2019(03):113-117. 

        [4] 赵建华 . 收益现值法与实物期权相结合的企业价值评估 [J]. 平顶山学院学报 ,2007(05):17-20. 

        [5] 王雪青 , 郭倩 . 基于模糊二叉树模型的高速公路投资项目价值评估 [J]. 山东大学学报 ( 哲学社会科 学版 ),2011(02):128-132.

        [6] 颜良文 . 金融创新背景下 PPP 模式的道路类建设项目投资效率分析 [J]. 经营与管理 ,2020,05:31-35. 

（项目课题：中国中铁工程财会学会科研项目 （ZTGCCK-2019051）） 

（作者单位：①中铁南方投资集团有限公司财务融资管理中心②中铁一局集团有限公司 广州分公司财务部，版权归作者所有，如觉侵权，请及时联系我们，我们会在第一时间删除，非常感谢！）