CodeForces - 721E

Posted 2020-08-29 ph = x

题目大意

现有一个长为 L的数轴，你要从0走到 L

给出n个互不相交的可行域。

你要选择长度为p的段，要求每一个段都要在可行域内。

选完一段之后下一段要么和其相接，要么和其间距至少为t，求问最多能选择几段。

 

解法1：动态规划

首先，我们得到以下结论：

　　1.如果我当前在一个可行域上有线段，那么必然是连续去取线段，直到结束。

这样，影响答案的无非是这n个可行域哪些插入线段，哪些被忽视。

接下来得到解法：f(i,j)表示前i个可行域，右端点为j最多插多少线段。（第二位状态个数太多）

注意到第二位状态j十分冗余，考虑优化：

　　2.在i固定，f(i,j)最优的时候，j越小越好。

所以f(i)表示前i个可行域最多插多少线段，g(i)表示在保证f(i)最优的情况下最小的右端点。

注意到g(i)递增，从而。

f(i) = max{ f(j) + ( Ri - g(j) )/p }  (g(j)∈[Li, Ri])

g(i) = min{ Ri + t - ( Ri - g(j) )%p }

f(i) = max{ f(j) } + (Ri - Li)/p       (g(j) < Li)

g(i) = min{ Ri + t - (Ri - Li)%p }

利用g(i)的单调性可以对两种dp转移方程进行均摊线性的维护。

 

解法2：算法分治

（待补）