一笔画探索

Posted 2020-08-27

kathy终于读小学了，成为一个一年级新生。

前段时间看见kathy在探索课程上研究一笔画，顿时兴趣来了。

查了一下百度，发现原来是奥数中的一个重要题型。

一笔画属于数学中的图论以及几何拓扑学范畴。网上对一笔画的数学描述，看了半天没看懂。

定下心来，泡杯热茶，开听冰可乐，经历冰火两重天的洗礼后，脑子一下清醒多了！拿出纸笔，经过一个小时的摸索，终于明白如何解题了，分享一下吧:

要完成一笔画，需要做两件事情:

1、如何判断某图可以一笔画出?

2、如何一笔把它画出来?

我们通过三个例子(代表三种情况)来详细了解解题流程:

例子1解题流程:

1) 拿出纸笔，画出上述结构图，并标记出各个顶点的索引号

2) 标出每个顶点发出的边的个数:
以图A为例子:                  以图B为例子:
从0发出4条边                  从0发出4条边
从1发出2条边                  从1发出2条边
从2发出2条边                  从2发出2条边
从3发出2条边                  从3发出2条边
从4发出2条边                  从4发出2条边
                          从5发出4条边
                          从6发出4条边

从各个点发出的边数(图论中称为出度)为奇数的个数为0(上面各个点发出的边数都是偶数，所以都是偶点，没有奇点)。

记住要点：
如果奇点数为0，则肯定存在一笔画
绘制时，可以从任意一个点出发，以该点为终点，形成连通图

备注: 图B是为了演示交点是否要标记，由于奇点是判断存在一笔画的关键之处，而两条线相交并且是偶点的话，标不标无所谓。如果交点是奇点的话，必须要标记。

例如下图: 0/1/2/3是交点，但是出度都是3，是奇点，必须标记

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3) 由于奇点个数为0，所以从任意点出发都能绘制出一笔画(多条路径)，结束时停留在起点，形成一个连通的图
以图A为基准: [a-b-c-d-e-f]，以0为起点，最终结束于0

上面演示了奇点个数为0的情况，肯定存在一笔画，绘制时候可以从任意点开始

下面演示第二种存在一笔画的情况:

例子2解题流程:

1) 拿出纸笔，画出上述结构图，并标记出各个顶点的索引号(同例子1)

2) 标出每个顶点发出的边的个数:(同例子1)
[0:2] [1:3] [2:4] [3:4] [4:3] [5:4] [6:2]

从各个点发出的边数(图论中称为出度)为奇数的个数为2([1:3]以及[4:3])。

记住要点：
如果奇点数为2，则肯定存在一笔画
绘制时，必须从一个奇点出发，以另一个奇点结束

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3) 由于存在两个奇点，所以绘制一笔画必须从任意一个奇点出发，以另外一个奇点结束

从奇点4开始，奇点1结束的线路图

从奇点1开始，奇点4结束的线路图 [a-b-c-d-e-f-g-h-i-j-k]

应该还有其他解，留给大家做个念想，可以动笔试试看，嘿嘿！

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记住要点：
如果奇点个数不为0或2时，肯定**画不出一笔画！！！**

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我们来确认一下

例子3：
使用最简单的田字来演示一下:

我们来修改例子2的图，看看会发生什么情况呢?

         下面无解:

         下面有解:

至此，一笔画的关键点(是否存在以及如何画)应该说的很清楚了。但是实际我们还是蕴含了一个没有提到的条件:既图必须是连通图。

举个简单例子：回 这个图，你永远都不能一笔画出，因为内外两口没有连通。

所以再总结一下一笔画的要点:

1、必须是连通图
2、奇点的个数必须是0或2，否则肯定无法画出一笔画
3、如果奇点个数为0，绘制时，从任意一个偶点出发，结束与该点
4、如果奇点个数为2，绘制时，从任意一个奇点出发，结束与另一个奇点

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大家可以到网上练习更复杂的一笔画，有了这些基础，就会相对容易理解。
不过一些符合上述条件，但是很复杂的图，绘制起来还是很烧脑子的。祝各位以及各位的孩子好运！

引用说明:
部分图片引用自http://a.gamedog.cn/news/20120808/59501.html

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