从150盏灯这道奥数题说起......

Posted 2020-08-27

前段时间，成都9岁学生纠错奥赛名题这篇文章在网上爆红。
本文不关注神童之类的新闻，仅仅从计算机实现的角度来验证题目正确性。

题目描述(需求描述):

150盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1，2，3，…，150。将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下，再将编号为5的倍数的灯的拉线各拉一下，拉完后亮着的灯数为__盏。

使用暴力穷举法来获得正确答案:

为了简单期间，我们可以将150盏灯缩小10倍，变为15盏灯，这样就很容易用暴力穷举法来标记出灯的最终结果:

答案:

第一遍拉灭3的倍数，15÷3=5个
第二遍拉灭5的倍数，15÷5=3个

重点！！！
问题就出在第二遍上，第二遍真的拉灭3个灯吗，不对！！！

算出3和5的公倍数有15÷(3×5)=1个，就是说第二次的时候，有1盏(15号)灯是第一次拉灭的，第二次再拉是不是又亮了呢？

那么第二次实际上是拉灭了2盏灯(5号灯,10号灯)，同时拉亮了1盏(15号灯)，那么最后是多少灯亮着呢?

15-5-2+1=9盏

通过上面的缩小10倍，暴力穷举后，你会发现正确的答案！

然后再扩大10，就知道90是正确答案！

这道题目，目的是考察公倍数相关知识，只是饶了几个圈。

提炼关键点(需求分析)

1. 150盏灯，按顺序1-150编号，初始处于亮着的状态，每个灯有两种状态变化:亮/暗(开关变量)。
   由上面这句话，我们可以提炼出一个数据结构 Light，具有两个关键的属性,具体见下面代码:

   struct Light
   {
    int index; //第一个属性，index表示当前灯的编号
    int isOn;  //第二个属性，isOn表示当前灯是不是亮着
   
    //构造函数
    Light() 
    {
             index = 0;  //初始化时候，编号为0，后面代码会设置到底是哪个编号
             isOn  = 1; //根据题意，初始化时候，所有灯是属于亮着状态，因此设置为1,表示灯亮着，如果isOn为0，表示灯暗着
    }
   };

2. 将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下，再将编号为5的倍数的灯的拉线各拉一下。
   1) 在计算机代码中，我们如何来表示整除这个概念呢?
   很简单，用c语系的%符号，该符号表示取模操作(或叫取余操作)。

   例如: 15%5 = (15-3*5) = 0 表示余数为0,则15被5整除，而15整除5。
         15%4 = (15-3*4)=3 表示余数为3,有余数情况下，就没有整除和被正处的概念

   所以，使用计算机代码表示整除，我们可以使用条件语句加取模操作来表示:

   int x = 15; //int 是c关键词，表示整数(包括自然数和负数)
   if((x % 5) == 0) //如果 x%5 的结果为0
   {
   //则说明x能被5整除
   //下面就进行结果处理
   }
   else 
   {
   //否者不能被5整除
   //你可以处理不能被5整除的情况，也可以不处理
   //如果不处理else状态，那么你可以将else{}这段代码全部不写，就当作什么都不发生
   }

   2) 在计算机代码中，我们如何表示开关状态?
   两种方式:

   //条件语句，繁琐
   int onoff = 1; //0表示关，1表示开，初始化，onoff = 1表示开
   //markA:
   if(onoff == 1) //如果onoff ==1 ，说明是开的情况下
   {
       onoff = 0; //则把他关闭
   }
   else //否则onoff == 0,说明是关的情况
   {
       onoff = 1; //则把他打开
   }

   你会发现使用条件判断方式，很繁琐，而且不高效。这时候我们可以引入c语系的一个经典的操作符^(异或操作)
   由于开关操作表示的状态就是0(关)/1(开),那么我们很容易使用异或来表示开关

   int onoff = 1; //0表示关，1表示开，初始化，onoff = 1表示开
   onoff ^= 1; // 表示如果onoff=1,则变为0, 如果onoff=0,则变为1
   //只要这么一句话，就相当于上面的markA下所有条件判断代码，你会发现，真是少写了很多代码，而且相当具有美感

   有了上面这些基础知识，我们就很容易写出代码来通过计算机程序进行验证

代码实现:

#define LIGHTCOUNT 150

int main()
{
    //分配150个灯的内存，初始化时候，isOn为true，说明灯是亮着
    Light lights[LIGHTCOUNT];

    //将150个灯进行编号，index = [1-150]
    for (int i = 0; i < LIGHTCOUNT; i++)
    {
        lights[i].index = i+1;
    }

    //遍历150个灯，凡是能被3整除的(%取模操作=0),则将标记变量进行异或操作(x^1表示，如果x为0,则变为1，如果x为1,则变为0,经典的开关变量)
    for (int i = 0; i < LIGHTCOUNT; i++)
    {
        if ((lights[i].index) % 3 == 0)
        {
            lights[i].isOn ^= 1; //由于初始化都是亮着，所以能被3整除的灯，异或后，变为关状态
        }
    }

    //遍历150个灯，凡是能被5整除的(%取模操作=0),则将标记变量进行异或操作(x^1表示，如果x为0,则变为1，如果x为1,则变为0,经典的开关变量)
    for (int i = 0; i < LIGHTCOUNT; i++)
    {
        if ((lights[i].index) % 5 == 0)
        {
            lights[i].isOn ^= 1;
        }
    }

    //到上面代码，凡是inOn = 1的，表示灯开着，否者关闭，我们来输出计数器，看看有多少灯是亮着的

    int count = 0; //计数器初始化为0个

    //遍历150个灯，凡是isOn = 1的话，则计数器加1，并且打印出亮着的灯的索引号以及isOn状态(此时，肯定isOn = 1)
    for (int i = 0; i < LIGHTCOUNT; i++)
    { 
        if (lights[i].isOn)
        {
            count++;
            if(count % 3 == 0)
               printf("亮着的灯的索引号:%03d 状态:%d\n", lights[i].index, lights[i].isOn);
            else
               printf("亮着的灯的索引号:%03d 状态:%d    ", lights[i].index, lights[i].isOn);
        }
    }

    //最后打印出到底还有多少灯亮着
    printf("一共有多少个灯亮呢? 答案是:%d\n", count);

    getchar();
    return 0;
}

运行一下代码:

我们将150盏灯:

#define LIGHTCOUNT 150

改为15盏灯:

#define LIGHTCOUNT 15

运行一下代码:

由此，我们用c语言验证了这道题目。

在这段简单的代码中，涉及了c语言程序的大部分基本核心要素:

struct定义了数据结构Light以及两个属性(成员变量)

任何程序语言，总归能用三种类型的语句来解决任何编程问题:

for ---> 循环语句
if   ---> 条件语句
除此之外的语句，称为顺序语句

天道循环，不出这三种语句。上亿行的操作系统，几十行的简单程序，都是由这三种语句组合而成。

由此可见，c语言是简单，强大的语言，特别适合三年级及以上的学生学习
由:

1、例如 struct/for/if/int 等32个固定的关键词
2、3大语句(循环语句，条件语句以及顺序语句)
3、例如 + - * / % > == < ^... 几十个操作符

组合而成。

c语言绝对是开拓思维的好工具。

当思维练习在纸上做的时候，    那叫奥林匹克数学！
当思维联系用计算机做的时候，   那叫信息奥林匹克！

拿了奥数杯赛好名次，小升初有加分
拿了信息奥林匹克，清华北大就直接抢，最后都成了微软，谷歌，facebook的菜。

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