xsy1116数学题 奥数题

Posted 2021-02-08 xiefengze1

真实奥数题

题目大意：给你正整数k$,r$。问你存在多少对$(x,y)$，满足$x<y$且$x^2+y^2=kz^2$，并将所有符合条件的数对输出。

数据范围：$r≤1e9$，$k={1,2,3}$。

 

我们先考虑$k=1$的情况，显然就是一个求勾股数对数的问。有一种经典的枚举所有$x^2+y^2=z^2$且$(x,y,z)=1$的勾股数对数的式子：

$egin{cases} x=2nm\ y=n^2-m^2 \ z=n^2+m^2 end{cases}$

证明的话，展开下式子算算就好

我们只需要暴力枚举r的因数进行计算就可以了，时间复杂度$O(r^{frac{1.066}{lnln n}+0.5})$（这个式子是抄来的，证明本蒟蒻不懂，反正是能过的qwq）。

 

考虑$k=2$的情况，我们参考处理$k=1$的情况，列一组式子，可以枚举所有$x^2+y^2=2z^2$且$(x,y,z)=1$的式子：

$egin{cases} x=n-m\ y=n+m \ z=sqrt{n^2+m^2} end{cases}$

证明同上

我们不难发现，这时候求解的关键变为了求$z^2=n^2+m^2$的对数（并将所有方案打出），这不就是第一问吗$qwq$。

我们只需要求出所有的$(n,m)$数对后，简单转化一波就可以了。

 

考虑k=3的情况，抱歉这个是无解的qwq

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define L long long
 3 #define M 10000005
 4 using namespace std;
 5 
 6 pair<L,L> p[M]; int cnt=0;
 7 
 8 int solve(L z,L bei){
 9     int res=0;
10     for(L n=1;n*n<=z;n++){
11         L m=sqrt(z-n*n),x=0,y=0;
12         if(m*m+n*n!=z) continue;
13         x=2*n*m;
14         y=n*n-m*m;
15         if(x==y) continue;
16         if(x>y) swap(x,y);
17         if(x<=0) continue;
18         p[++cnt]=make_pair(x*bei,y*bei);
19         res++;
20     }
21     return res;
22 }
23 
24 int main(){
25     int cas; cin>>cas;
26     while(cas--){
27         L k,z,ans=0; cin>>k>>z; cnt=0;
28         if(k==3) {printf("0
"); continue;}
29         for(L i=1;i*i<=z;i++) if(z%i==0){
30             ans+=solve(i,z/i);
31             if(i*i!=z) ans+=solve(z/i,i);
32         }
33         sort(p+1,p+cnt+1);
34         cnt=unique(p+1,p+cnt+1)-p-1;
35         if(k==2){
36             for(int i=1;i<=cnt;i++){
37                 p[i]=make_pair(p[i].second-p[i].first,p[i].second+p[i].first);
38             }
39             sort(p+1,p+cnt+1);
40             cnt=unique(p+1,p+cnt+1)-p-1;
41         }
42         printf("%d
",cnt);
43         for(int i=1;i<=cnt;i++) printf("%d %d
",p[i].first,p[i].second);
44 
45     }
46 }