深度优先算法和广度优先算法

Posted 2020-08-26 Leo_wlCnBlogs

算法：深度优先算法和广度优先算法(基于邻接矩阵)

1.写在前面

　　图的存储结构有两种：一种是基于二维数组的邻接矩阵表示法。

　　　　　　　　　　　　另一种是基于链表的的邻接表。

　　在邻接矩阵中，可以如下表示顶点和边连接关系：

　　　　

说明：

　　将顶点对应为下标，根据横纵坐标将矩阵中的某一位置值设为1，表示两个顶点向联接。

　　图示表示的是无向图的邻接矩阵，从中我们可以发现它们的分布关于斜对角线对称。

　　我们在下面将要讨论的是下图的两种遍历方法（基于矩阵的）：

 　　　　

　　我们已经说明了我们要用到的是邻接矩阵表示法，那么我首先要来构造图：

　　矩阵图的数据结构如下表示：

#define MaxVnum 50
typedef double AdjMatrix[MaxVnum][MaxVnum];   //表示一个矩阵，用来存储顶点和边连接关系
typedef struct {
    int vexnum,arcnum;　　　　　　　　　　　　　　 //顶点的个数，边的个数
    AdjMatrix arcs;　　　　　　　　　　　　　　　　 //图的邻接矩阵
}Graph;

　　这样我们可以首先来创建上述图，为了方便，我们直接在代码中书写矩阵，而不用每次调试手动输入了

void CreateGraph(Graph &G)
{
    G.vexnum=8;
    G.arcnum=9;
    G.arcs[0][1]=1;
    G.arcs[0][2]=1;
    G.arcs[1][3]=1;
    G.arcs[1][4]=1;
    G.arcs[2][5]=1;
    G.arcs[2][6]=1;
    G.arcs[3][1]=1;
    G.arcs[3][7]=1;
    G.arcs[3][6]=1;
    G.arcs[4][1]=1;
    G.arcs[4][7]=1;
    G.arcs[5][2]=1;
    G.arcs[5][6]=1;
    G.arcs[5][5]=1;
    G.arcs[6][2]=1;
    G.arcs[6][5]=1;
    G.arcs[7][3]=1;
    G.arcs[7][4]=1;
}

　　这样我们就已经完成了准备工作，我们可以正式来学习我们的两种遍历方式了。

2.深度优先遍历算法

　　分析深度优先遍历

　　　　从图的某个顶点出发，访问图中的所有顶点，且使每个顶点仅被访问一次。这一过程叫做图的遍历。

　　　　深度优先搜索的思想：

　　　　　　①访问顶点v；
　　　　　　②依次从v的未被访问的邻接点出发，对图进行深度优先遍历；直至图中和v有路径相通的顶点都被访问；
　　　　　　③若此时图中尚有顶点未被访问，则从一个未被访问的顶点出发，重新进行深度优先遍历，直到图中所有顶点均被访问过为止。

　　　　比如：

　　　　

　　　　在这里为了区分已经访问过的节点和没有访问过的节点，我们引入一个一维数组bool visited[MaxVnum]用来表示与下标对应的顶点是否被访问过，

流程：
☐ 首先输出 V1，标记V1的flag=true;
☐ 获得V1的邻接边 [V2 V3],取出V2，标记V2的flag=true;
☐ 获得V2的邻接边[V1 V4 V5],过滤掉已经flag的，取出V4，标记V4的flag=true;
☐ 获得V4的邻接边[V2 V8],过滤掉已经flag的，取出V8，标记V8的flag=true;
☐ 获得V8的邻接边[V4 V5],过滤掉已经flag的，取出V5，标记V5的flag=true;
☐ 此时发现V5的所有邻接边都已经被flag了，所以需要回溯。（左边黑色虚线，回溯到V1，回溯就是下层递归结束往回返）
☐ 
☐ 回溯到V1，在前面取出的是V2，现在取出V3，标记V3的flag=true;
☐ 获得V3的邻接边[V1 V6 V7]，过滤掉已经flag的,取出V6，标记V6的flag=true;
☐ 获得V6的邻接边[V3 V7],过滤掉已经flag的,取出V7，标记V7的flag=true;
☐ 此时发现V7的所有邻接边都已经被flag了，所以需要回溯。（右边黑色虚线，回溯到V1，回溯就是下层递归结束往回返）

　　深度优先搜索的代码

bool visited[MaxVnum];
void DFS(Graph G,int v)
{
    visited[v]= true; //从V开始访问，flag它
    printf("%d",v);    //打印出V
    for(int j=0;j<G.vexnum;j++) 
        if(G.arcs[v][j]==1&&visited[j]== false) //这里可以获得V未访问过的邻接点
            DFS(G,j); //递归调用，如果所有节点都被访问过，就回溯，而不再调用这里的DFS
}

void DFSTraverse(Graph G) {
    for (int v = 0; v < G.vexnum; v++)
        visited[v] = false; //刚开始都没有被访问过

    for (int v = 0; v < G.vexnum; ++v)
        if (visited[v] == false) //从没有访问过的第一个元素来遍历图
            DFS(G, v);
}

 3.广度优先搜索算法

　　　　分析广度优先遍历　　　　

　　　　　　所谓广度，就是一层一层的，向下遍历，层层堵截，还是这幅图，我们如果要是广度优先遍历的话，我们的结果是V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8。

　　　　　　

　　　　　　广度优先搜索的思想：

　　　　　　 　　① 访问顶点vi ；

　　　　　　　　 ② 访问vi 的所有未被访问的邻接点w1 ,w2 , …wk ；

　　　　　　　　 ③ 依次从这些邻接点（在步骤②中访问的顶点）出发，访问它们的所有未被访问的邻接点; 依此类推，直到图中所有访问过的顶点的邻接点都被访问；

　　　说明：

　　　　　　为实现③，需要保存在步骤②中访问的顶点，而且访问这些顶点的邻接点的顺序为：先保存的顶点，其邻接点先被访问。 这里我们就想到了用标准模板库中的queue队列来实现这种先进现出的服务。

　　　　　　老规矩我们还是走一边流程：

　　　说明：　

　　　　 ☐将V1加入队列，取出V1，并标记为true(即已经访问)，将其邻接点加进入队列，则 <—[V2 V3]　

　　　　 ☐取出V2，并标记为true(即已经访问)，将其未访问过的邻接点加进入队列，则 <—[V3 V4 V5]

☐取出V3，并标记为true(即已经访问)，将其未访问过的邻接点加进入队列，则 <—[V4 V5 V6 V7]

☐取出V4，并标记为true(即已经访问)，将其未访问过的邻接点加进入队列，则 <—[V5 V6 V7 V8]

☐取出V5，并标记为true(即已经访问)，因为其邻接点已经加入队列，则 <—[V6 V7 V8]

☐取出V6，并标记为true(即已经访问)，将其未访问过的邻接点加进入队列，则 <—[V7 V8]

☐取出V7，并标记为true(即已经访问)，将其未访问过的邻接点加进入队列，则 <—[V8]

☐取出V8，并标记为true(即已经访问)，将其未访问过的邻接点加进入队列，则 <—[]

　　广度优先搜索的代码

#include <queue>
using namespace std;
....
void BFSTraverse(Graph G)
{
    for (int v=0;v<G.vexnum;v++) //先将其所有顶点都设为未访问状态
        visited[v]=false;
    queue<int> Q;
    for(int v=0;v<G.vexnum;v++)    
    {
        if(visited[v]==false)   //若该点没有访问
        {
            Q.push(v);　　　　//将其加入到队列中
            visited[v]=true;
            while (!Q.empty())　　//只要队列不空，遍历就没有结束
            {
                int t =Q.front();　　//取出对头元素
                Q.pop();
                printf(" %d ",t+1);  
                for(int j=0;j<G.vexnum;j++) //将其未访问过的邻接点加进入队列
                    if(G.arcs[t][j]==1&&visited[j]== false)
                    {
                        Q.push(j);
                        visited[j]=true; //在这里要设置true，因为这里该顶点我们已经加入到了队列，为了防止重复加入！
                    }
            }
        }
    }
}

 两种算法的复杂度分析

　　深度优先

　　　　数组表示：查找所有顶点的所有邻接点所需时间为O(n²)，n为顶点数，算法时间复杂度为O(n²) 　　

　　广度优先

　　　　数组表示：查找每个顶点的邻接点所需时间为O(n²)，n为顶点数，算法的时间复杂度为O(n²)

　　　　　　

 

分类: C/C++,数据结构,算法第四版