bzoj 1925 [Sdoi2010]地精部落（DP）

Posted 2020-06-17

 

Description

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。 地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段，每段有一个独一无二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。 类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。 地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。 地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮 流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道，长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i，使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它 除以P的余数感兴趣。

Input

仅含一行，两个正整数 N, P。

Output

仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余 之后的结果。

Sample Input

4 7

Sample Output

3

HINT

 
对于 20%的数据，满足 N≤10； 
对于 40%的数据，满足 N≤18； 
对于 70%的数据，满足 N≤550； 
对于 100%的数据，满足 3≤N≤4200，P≤109

 

【思路】

 

       DP+滚动数组

       设f[i][j]表示长度为i且以1..j为开头，且开头为下降的总方案数，则有方程式:

              f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][i-j]

       第一部分考虑长度为i且开头为1..j-1的方案数。

       第二部分考虑以j为开头的序列，则应该接上f[i-1][j-1]，但这样就变成了上升序列，考虑到上升序列和下降序列是对称的，取一下反，那么f[i-1][j-1]=f[i-1][i-j]。

       答案为f[n][n]*2，上升和下降。

       最后滚动数组优化空间。

 

【代码】

 1 #include<cstdio>
 2 using namespace std;
 3 
 4 const int N = 5000;
 5 
 6 int f[2][N],n,m;
 7 
 8 int main() {
 9     scanf("%d%d",&n,&m);
10     f[1][1]=1;
11     for(int i=2;i<=n;i++)
12         for(int j=1;j<=i;j++)
13             f[i&1][j]=(f[i&1][j-1]+f[(i&1)^1][i-j])%m;
14     printf("%d",(f[n&1][n]*2)%m);
15     return 0;
16 }