codeforces 749E Inversions After Shuffle

Posted 2020-08-26 MashiroSky

http://codeforces.com/problemset/problem/749/E (题目链接)

题意

　　给出一个1~n的排列，从中等概率的选取一个连续段，设其长度为l。对连续段重新进行等概率的全排列，求排列后整个原序列的逆序对的期望个数。

Solution

　　考虑对于每一对数${(a_i,a_j),i<j}$算贡献。

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 　　1.连续段包含${a_i,a_j}$

　　不妨设${a_i<a_j}$，则只有当排列后${a_j}$再${a_i}$前面才会对答案有贡献（${a_i>a_j}$的情况同理），连续段长度为${l}$。

　　于是满足${a_i}$在${a_j}$前面的排列数为${P_l^{l-2}}$，概率：${\frac{P_l^{l-2}}{P_l^l}=\frac{1}{2}}$。

　　满足包含${a_i}$和${a_j}$的连续段有${i*(n-j+1)}$个，其概率为：${\frac{2*i*(n-j+1)}{n*(n+1)}}$。

　　所以其期望等于两个概率相乘：

　　$${q_{i,j}=\frac{i*(n-j+1)}{n*(n+1)}}$$

　　这是${O(n^2)}$的，考虑优化。总期望：

　　$${Q=\sum_{i=1}^n  \sum_{j=i+1}^n  q_{i,j}}$$

　　$${Q=\sum_{i=1}^n  \sum_{j=i+1}^n  \frac{i*(n-j+1)}{n*(n+1)}}$$

　　发现${(n-j+1)}$是连续的，于是就变成了：

　　$${Q=\sum_{i=1}^n  \frac {i*(n-i)*(n-i+1)} {2*n*(n+1)}}$$

　　这样复杂度就是${O(n)}$的了。

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　　2.连续段不同时包含${a_i,a_j}$

　　如果${a_i<a_j}$，那么因为不被连续段同时包含，它们不会有机会改变相对位置，所以不会对答案做出贡献。考虑${a_i>a_j}$的情况。

　　那么连续段可能取到的区间有：${[1,j-1],[i+1,n]}$。考虑到区间${[i+1,j-1]}$被算了2次，容斥一下，所以区间的概率：

$${P=\frac  {(j-1)*j+(n-i)*(n-i+1)-(j-i-1)*(i-j)}  {n*(n+1)}}$$

　　然后好像用树状数组可以做，先坑着。。发个${O(n^2)}$的代码。

细节

代码

// codeforces 749E
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define LL long long
#define inf 1<<30
#define Pi acos(-1.0)
#define free(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout);
using namespace std;

const int maxn=100010;
LL c[maxn],s[maxn];
int n,a[maxn];
double ans;

int main() {
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		ans+=(double)(i*(n-i)*(n-i+1))/(2*n*(n+1));
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=i+1;j<=n;j++)
			if (a[i]>a[j])
				ans+=(double)((j-1)*j+(n-i)*(n-i+1)-(j-i-1)*(j-i))/(n*(n+1));
	printf("%.12lf",ans);
	return 0;
}