Inversions After Shuffle CodeForces - 749E (概率,期望)

Posted 2021-11-26 uid001

大意: 给定一个$n$排列, 随机选一个区间, 求将区间随机重排后整个序列的逆序对期望.

 

 

考虑对区间$[l,r]$重排后逆序对的变化, 显然只有区间[l,r]内部会发生改变

而长为$k$的随机排列期望逆序为$\frac{k(k-1)}{4}$(证明考虑逆序与顺序对称性)

所以$[l,r]$的贡献即为$inv(1,n)-inv(l,r)+\frac{(r-l+1)(r-l)}{4}$

所以就转化为求$\sum\limits_{1\le l\le r\le n}inv(l,r)$

对于逆序对$(x,y)$, 我们枚举$y$, 就有贡献$(n-y+1)\sum\limits_{\substack{1\le x< y\\ a_y<a_x}}x$

就转化为二维数点问题, 可以用树状数组解决.

用$long\space double$不知道为什么会WA, 改成$double$直接过了 

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <math.h>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <string.h>
#include <bitset>
#define REP(i,a,n) for(int i=a;i<=n;++i)
#define PER(i,a,n) for(int i=n;i>=a;--i)
#define hr putchar(10)
#define pb push_back
#define lc (o<<1)
#define rc (lc|1)
#define mid ((l+r)>>1)
#define ls lc,l,mid
#define rs rc,mid+1,r
#define x first
#define y second
#define io std::ios::sync_with_stdio(false)
#define endl ‘\n‘
#define DB(a) ({REP(__i,1,n) cout<<a[__i]<<‘ ‘;hr;})
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;

const int N = 1e5+10;
int n;
db c[2][N];
void add(int id, int x, int v) {
	for (; x; x^=x&-x) c[id][x]+=v;
}
db qry(int id, int x) {
	db ret = 0;
	for (; x<=n; x+=x&-x) ret+=c[id][x];
	return ret;
}
int main() {
	scanf("%d", &n);
	db ans = 0;
	REP(i,1,n) {
		int t;
		scanf("%d", &t);
		ans += qry(0,t)*n*(n+1)/2-(n-i+1)*qry(1,t)+((db)i*i*i-i)/12;
		add(0,t,1), add(1,t,i);
	}
	ans /= (db)n*(n+1)/2;
	printf("%.12lf\n", ans);	
}