bzoj4540: [Hnoi2016]序列

Posted 2020-08-25 ccz181078

Description

　　给定长度为n的序列：a1,a2,…,an，记为a[1:n]。类似地，a[l:r]（1≤l≤r≤N）是指序列：a_l,a_l+1,…,a_r-
1,a_r。若1≤l≤s≤t≤r≤n，则称a[s:t]是a[l:r]的子序列。现在有q个询问，每个询问给定两个数l和r，1≤l≤r
≤n，求a[l:r]的不同子序列的最小值之和。例如，给定序列5,2,4,1,3，询问给定的两个数为1和3，那么a[1:3]有
6个子序列a[1:1],a[2:2],a[3:3],a[1:2],a[2:3],a[1:3]，这6个子序列的最小值之和为5+2+4+2+2+2=17。

Input

　　输入文件的第一行包含两个整数n和q，分别代表序列长度和询问数。接下来一行，包含n个整数，以空格隔开
,第i个整数为ai，即序列第i个元素的值。接下来q行，每行包含两个整数l和r，代表一次询问。

Output

　　对于每次询问，输出一行，代表询问的答案。

预处理每个a[i]数作为最左的最小值向左右延伸到的位置L[i],R[i]，则l=L[i]..i,r=i..R[i]的区间的最小值为a[i]，且最后每个区间不重不漏

让区间端点l,r对应平面上的点(x=l,y=r)，则询问转化为求一个矩形内的和，预处理的修改转化为矩形加上一个数

令与y轴平行的扫描线沿x轴负方向扫描，维护扫描线上每个y坐标上的答案关于x坐标的一次函数的系数，可以发现每个矩形加操作可以拆成四次区间加(进入/离开扫描线时对区间内的一次函数的两个系数的影响均为一个常数)，而询问则为区间求和(区间内一次函数加起来再代入当前x求一次值)，至此可以树状数组/线段树维护

时间复杂度O((n+q)logn+qlogq)，树状数组实现时约有16n+4q次树状数组操作，常数较大

#include<cstdio>
#include<algorithm>
typedef long long i64;
const int N=100007;
int n,q,a[N],ss[N],sp=0,ls[N],rs[N];
i64 ans[N];
char buf[N*50],*ptr=buf-1;
int _(){
    int x=0,f=1,c=*++ptr;
    while(c<48)c==‘-‘&&(f=-1),c=*++ptr;
    while(c>47)x=x*10+c-48,c=*++ptr;
    return x*f;
}
i64 ks[2][N],bs[2][N];
void add(i64*f1,i64*f2,int w0,i64 x){
    if(!w0)return;
    for(int w=w0;w;w-=w&-w)f1[w]+=x;
    x*=w0;
    for(int w=w0;w<=n;w+=w&-w)f2[w]+=x;
}
i64 sum(i64*f1,i64*f2,int w0){
    if(!w0)return 0;
    i64 s=0;
    for(int w=w0;w<=n;w+=w&-w)s+=f1[w];
    s*=w0;
    for(int w=w0-1;w;w-=w&-w)s+=f2[w];
    return s;
}
struct Q{
    int l,r,id;
    void run(){
        ans[id]=sum(ks[0],ks[1],r)*l+sum(bs[0],bs[1],r);
    }
}qs[N];
bool operator<(Q a,Q b){return a.l>b.l;}
struct ev{
    int l,r1,r2;
    i64 k,b;
    void run(){
        add(ks[0],ks[1],r2,k);
        add(ks[0],ks[1],r1-1,-k);
        add(bs[0],bs[1],r2,b);
        add(bs[0],bs[1],r1-1,-b);
    }
}e[N*2];
bool operator<(const ev&a,const ev&b){return a.l>b.l;}
int ep=0;
int main(){
    fread(buf,1,sizeof(buf),stdin);
    n=_();q=_();
    for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=_();
    for(int i=1;i<=n;++i){
        while(sp&&a[ss[sp]]>a[i])rs[ss[sp--]]=i-1;
        ss[++sp]=i;
    }
    while(sp)rs[ss[sp--]]=n;
    for(int i=n;i;--i){
        while(sp&&a[ss[sp]]>=a[i])ls[ss[sp--]]=i+1;
        ss[++sp]=i;
    }
    while(sp)ls[ss[sp--]]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        e[ep++]=(ev){i+1,i,rs[i],-a[i],i64(i+1)*a[i]};
        e[ep++]=(ev){ls[i],i,rs[i],a[i],i64(-ls[i])*a[i]};
    }
    std::sort(e,e+ep);
    for(int i=0;i<q;++i){
        qs[i].l=_();
        qs[i].r=_();
        qs[i].id=i;
    }
    std::sort(qs,qs+q);
    for(int i=0,p=0;i<q;++i){
        while(p<ep&&e[p].l>=qs[i].l)e[p++].run();
        qs[i].run();
    }
    for(int i=0;i<q;++i)printf("%lld\n",ans[i]);
    return 0;
}