学习笔记（信号与系统）
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学习笔记（信号与系统）
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第一章 信号和系统
信号的概念、描述和分类
信号的基本运算
典型信号
系统的概念和分类
1、常常把来自外界的各种报道统称为消息；
信息是消息中有意义的内容；
信号是反映信息的各种物理量，是系统直接进行加工、变换以实现通信的对象。
信号是信息的表现形式，信息是信号的具体内容；信号是信息的载体，通过信号传递信息。
2、系统(system)：是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。
3、信号的描述——数学描述，波形描述。
信号的分类：
1）确定信号（规则信号）和随机信号
确定信号或规则信号 ——可以用确定时间函数表示的信号；随机信号——若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性。
2）连续信号和离散信号
连续时间信号——在连续的时间范围内(-∞<t<∞）有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号，实际中也常称为模拟信号；离散时间信号——仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号，实际中也常称为数字信号。
3）周期信号和非周期信号
周期信号——是指一个每隔一定时间T，按相同规律重复变化的信号；非周期信号——不具有周期性的信号称为非周期信号。
4）能量信号与功率信号
能量信号——信号总能量为有限值而信号平均功率为零；功率信号——平均功率为有限值而信号总能量为无限大。
5）一维信号与多维信号
信号可以表示为一个或多个变量的函数，称为一维或多维函数。
6）因果信号
若当t<0时f(t)=0,当t>0时f(t)≠0的信号,称为因果信号；非因果信号指的是在时间零点之前有非零值。
4、信号的基本运算：
信号的＋、－、×运算:两信号f1(·)和f2(·)的相＋、－、×指同一时刻两信号之值对应相加减乘。
平移:将f(t)→f(t + t0)称为对信号f(·)的平移或移位,若t0< 0，则将f(·)右移,否则左移。
反转: 将f(t)→f(–t)或f(k)→f(–k)称为对信号f(·)的反转或反折，从图形上看是将f (·)以纵坐标为轴反转180°。
尺度变换（横坐标展缩）：将f(t)→f(at)，称为对信号f(t)的尺度变换。若a>1，则f(at)将f(t)的波形沿时间轴压缩至原来的1/a；若0<a<1，则f(at)将f(t)的波形沿时间轴扩展为原来的a倍。
微分：信号f(t)的微分运算指f(t)对t取导数，即：
信号经过微分运算后突出显示了它的变化部分，起到了锐化的作用。
积分：信号f(t)的积分运算指f(t)在（-∞，t）区间内的定积分，表达式为：
信号经过积分运算后，使得信号突出变化部分变得平滑了，起到了模糊的作用，利用积分可以削弱信号中噪声的影响。
5、典型的连续时间信号
1）实指数信号：
（对时间的微、积分仍是指数。）
a>0时，信号将随时间而增长；a<0时，信号将随时间而衰减；a=0时，信号不随时间而变化，为直流信号。
τ是指数信号的时间常数，τ越大，指数信号增长或衰减的速率越慢。
2）正弦信号：
对时间的微、积分仍是同频率正弦。
3）复指数信号：
（
）
实际不存在，但可以用于描述各种信号。
σ>0时，增幅振荡正、余弦信号；σ<0时，衰减振荡正、余弦信号；σ=0时等振幅振荡正、余弦信号；ω=0时，实指数信号；σ=0且ω=0时，直流信号。
4）抽样信号：
Sa(t)具有以下性质：
，
；Sa（0）=1，Sa（t）=0（t=±π，±2π，…）。
5）钟形信号：
6、单位阶跃函数和单位冲激函数
1）单位阶跃函数：
可以方便地表示某些信号，用阶跃函数表示信号的作用区间，积分计算；
单位冲激函数为偶函数：
；
加权特性：
抽样特性：
，
；
尺度变换：
，
，
，
；
导数（冲激偶）：
，
冲激偶的抽样特性：
，
，
冲激偶的加权特性:
，
。
2）单位冲激函数：
单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。
3）冲激函数与阶跃函数关系:
阶跃函数序列与冲激函数序列。
7、信号的分解
直流分量fD与交流分量fA(t):
，其中fD为直流分量即信号的平均值。
偶分量与奇分量：
，其中fe=
为偶分量，fo=
为奇分量。
脉冲分量
一种分解为矩形窄脉冲分量：
，
另一分解为阶跃信号分量之叠加。
实部分量与虚部分量：
对于瞬时值为复数的信号f(t)可分解为实、虚部两个部分之和。
正交函数分量：
，用正交函数集来表示一个信号，组成信号的各分量就是相互正交的。
8、系统：若干相互作用、相互联系的事物按一定规律组成具有特定功能的整体称为系统。
9、系统的分类及性质
连续系统与离散系统：输入和输出均为连续时间信号的系统称为连续时间系统；输入和输出均为离散时间信号的系统称为离散时间系统。
连续时间系统的数学模型是用微分方程来描述，而离散时间系统的数学模型是用差分方程来描述。
动态系统与即时系统：若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统或记忆系统；含有记忆元件(电容、电感等)的系统是动态系统，否则称即时系统或无记忆系统。
线性系统与非线性系统：能同时满足齐次性与叠加性的系统称为线性系统。满足叠加性是线性系统的必要条件；不能同时满足齐次性与叠加性的系统称为非线性系统。
时不变系统与时变系统：满足时不变性质的系统称为时不变系统。
时不变性质:若系统满足输入延迟多少时间，其激励引起的响应也延迟多少时间。
因果系统与非因果系统：激励引起的响应不会出现在激励之前的系统，称为因果系统；也就是说，如果响应r(t)并不依赖于将来的激励[如e(t+1)]，那么系统就是因果的。
稳定系统与不稳定系统：一个系统，若对有界的激励f(.)所产生的响应y=f(.)也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出稳定，简称稳定；即若│f(.)│<∞，其│yf(.)│<∞，则称系统是稳定的。
线性时不变系统：LTI连续系统的微分特性和积分特性
线性性质包括两方面：齐次性和可加性，若系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是线性的，即T[a f1(·) + bf2(·)] = a T[ f1(·)] + bT[ f2(·)]。
当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：可分解性+零状态线性+零输入线性。
10、描述连续动态系统的数学模型是微分方程，描述离散动态系统的数学模型是差分方程。
解析描述-系统模拟框图描述。
11、系统分析研究的主要问题：
对给定的具体系统，求出它对给定激励的响应；也可以说，系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答。
采用的数学工具：卷积积分与卷积和，傅里叶变换，拉普拉斯变换，Z变换。
第二章 连续系统的时域分析
微分方程的经典解法
0+和0-初始值
零输入响应与零状态响应
冲激响应和阶跃响应
卷积积分
1、微分方程的一般形式：
微分方程的经典解：
y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解）
齐次解是齐次微分方程
的解，yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定，而特解的函数形式与激励函数的形式有关。
齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。
2、全响应＝齐次解(自由响应)＋特解(强迫响应)。
齐次解：写出特征方程，求出特征根（自然频率或固有频率）；根据特征根的特点，齐次解有不同的形式；一般形式（无重根）：
特解：根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定系数法确定；在输入信号为直流和正弦信号时，特解就是稳态解。
用初始值确定积分常数，一般情况下，n阶方程有n个常数，可用n个初始值确定。
3、0-状态称为零输入时的初始状态，即初始值是由系统的储能产生的；
0+状态称为加入输入后的初始状态，即初始值不仅有系统的储能，还受激励的影响。
从0-状态到0+状态的跃变：当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0-状态到0+状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含δ(t)及其各阶导数；如果包含有δ(t)及其各阶导数，说明相应的0-状态到0+状态发生了跳变。
0+状态的确定：已知0-状态求0+状态的值，可用冲激函数匹配法；求0+状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出。
4、各种响应用初始值确定积分常数：
在经典法求全响应的积分常数时，用的是0+状态初始值；
在求系统零输入响应时，用的是0-状态初始值；
在求系统零状态响应时，用的是0+状态初始值，这时的零状态是指0-状态为零。
5、冲激函数匹配法：
目的：用来求解初始值，求（0＋）和（0-）时刻值的关系；
应用条件：如果微分方程右边包含δ（t）及其各阶导数，那么（0＋）时刻的值不一定等于（0-）时刻的值；
原理：利用t＝0时刻方程两边的δ（t）及各阶导数应该平衡的原理来求解（0＋）。
6、零输入响应：没有外加激励信号的作用，只有起始状态所产生的响应；
零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用，由系统外加激励信号所产生的响应；
LTI的全响应：y(t) = yx(t) + yf(t)。
1）零输入响应，即求解对应齐次微分方程的解：
当特征方程的根(特征根)为n个单根(不论实根、虚根、复数根)λ1，λ2， …，λn时，则yx(t)的通解表达式为：
当特征方程的根(特征根)为n个重根(不论实根、虚根、复数根) λ1=λ2=…=λn时，yx(t)的通解表达式为:
步骤总结：
求系统的特征根，写出yx(t)的通解表达式；
由于激励为零，所以零输入的初始值：
，确定积分常数C1、C2、…、Cn；
将确定出的积分常数C1、C2、…、Cn代入通解表达式，即得yx(t)。
2）零状态响应，即求解对应非齐次微分方程的解：
基本步骤：
求系统的特征根，写出的通解表达式yfh(t)；
根据f(t)的形式，确定特解形式，代入方程解得特解yfp(t)；
求全解，若方程右边有冲激函数（及其各阶导数）时，根据冲激函数匹配法求得
，确定积分常数C1、C2、…、Cn；
将确定出的积分常数C1、C2、…、Cn代入全解表达式，即得。
几种典型自由项函数相应的特解：
7、系统响应划分：
自由响应（Natural）＋强迫响应（forced）；
暂态响应（Transient）+稳态响应（Steady-state）；
零输入响应（Zero-input）＋零状态响应（Zero-state）。
零输入响应是自由响应的一部分，零状态响应有自由响应的一部分和强迫响应构成 。
8、冲激响应：系统在单位冲激信号δ(t)作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
阶跃响应：系统在单位阶跃信号u（t）作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用g(t)表示。
阶跃响应与冲激响应的关系：线性时不变系统满足微、积分特性
、
。阶跃响应是冲击响应的积分，注意积分限
，对于因果系统为
。
9、任意信号的分解：
任意信号作用下的零状态响应：
卷积定义：已知定义在区间（–∞，∞）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分：
（
）
于是，任意信号的零状态响应即为：
卷积的计算步骤可分解为四步：
1）换元：t换为τ→得f1(τ)、f2(τ)；
2）反转平移：由f2(τ)反转→f2(–τ)右移t→f2(t-τ)；
3）乘积：f1(τ)*f2(t-τ)；
4）积分：τ从–∞到∞对乘积项积分。
10、卷积的性质
交换律：ƒ1(t)*ƒ2(t)=ƒ2(t)*ƒ1(t)；
分配律：ƒ1(t)*[ƒ2(t)+ƒ3(t)]=ƒ1(t)*ƒ2(t)+ƒ1(t)*ƒ3(t)；
结合律：[ƒ1(t)*ƒ2(t)]*ƒ3(t)=ƒ1(t)*[ƒ2(t)*ƒ3(t)]；
微分性质：
；
积分性质：
；
微积分性质：
；
应用微积分性质的条件是
必须成立，即必须有
。
f(t)与冲激函数的卷积：ƒ(t)*δ(t)=f(t)；
ƒ(t)*δ(t-t0)=ƒ(t-t0)；
ƒ(t-t1)*δ(t-t2)=ƒ(t-t1-t2)；
δ(t-t1)*δ(t-t2)=δ(t-t1-t2)。
f(t)与冲激偶函数的卷积：ƒ(t)*δ\'(t)=f\'(t)*δ(t)=ƒ\'(t)；
ƒ(t)*δ\'\'(t)=ƒ"(t)。
f(t)与阶跃函数的卷积：
；
。
时移性质：若ƒ1(t)*ƒ2(t)=ƒ(t)，则有ƒ1(t-t1)*ƒ2(t-t2)=ƒ(t-t1-t2)。
利用卷积积分的性质来计算卷积积分，可使卷积积分的计算大大简化。
第三章 频域分析
第一节 引言
1、从本章开始由时域转入变换域分析。
首先讨论傅里叶变换，傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析），将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。
频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系。
2、已知一些基本信号，将任意一个信号e(t)（或者我们需要研究的信号）用一个基本信号的线性组合来表示（信号分解）。
如果已知基本信号通过LTI系统的响应r(t)，那么任意信号通过系统的响应就可以用r(t)的线性组合来表示。
3、由系统的组成来说：当输入为指数信号时，系统的输出一定也是一个指数信号，只不过指数信号幅值发生变化。
指数信号通过LTI系统的输出，利用卷积法（输入为
）：
设
，则
。
4、设激励信号为sin(ω0t),系统的频率响应为
，则系统的稳态响应为：
正弦信号为sin(ω0t)作为激励的稳态响应为与激励同频率的信号，幅度H(jω0)由加权，相移φ（ω0），H(jω)代表了系统对信号的处理效果。
5、三角变换
第二节 周期信号傅里叶级数分析
三角函数形式的傅氏级数
指数函数形式的傅氏级数
两种傅氏级数的关系
频谱图
函数的对称性与傅里叶级数的关系
周期信号的功率
傅里叶有限级数与最小方均误差
1、{ cos(nω1t),sin(nω1t) }是一个完备的正交函数集，t在一个周期内，n=1,2,3，…，∞。
由积分可知：
2、傅里叶级数的三角展开式：
其中：
分析
，
。
3、可画出频谱图：
cn～ω关系曲线称为幅度频谱图；
φn～ω关系曲线称为相位频谱图。
4、指数函数形式的傅里叶级数：
复指数正交函数集：{ ejnω1t }，n=±1，±2，…。
级数形式：
。
系数：
。
周期信号可分解为（-∞，∞）区间的指数信号ejnω1t的线性组合。
5、两种系数之间的关系：
幅频特性：
；
相频特性：
。
其中an、φ（nω1）为关于ω的偶函数；bn、F（nω1）为关于ω的奇函数。
6、周期信号的傅里叶级数有两种形式：三角形式和指数形式；
三角函数形式的频谱图为单边频谱，指数形式的频谱图为双边频谱；
三个性质：收敛性、谐波性、唯一性；
引入负频率：函数分解为虚指数，必须有共轭对，才能保证原实函数的性质不变。
7、偶函数的傅里叶形式：
傅里叶级数中不含正弦项，只含直流项和余弦项，F（nω1）为实函数。
奇函数的傅里叶形式：
奇函数中的傅里叶函数中无余弦分量，F（nω1）为虚函数。
奇谐函数的傅里叶形式：
奇谐函数傅里叶级数的偶次谐波为零。
偶谐函数的傅里叶形式：
偶谐函数傅里叶形式的奇次谐波为零。
8、能量信号：一个信号如果能量有限，称之为能量信号；
功率信号：如果一个信号功率是有限的，称之为功率信号。
连续信号能量：
；离散信号能量：
。
物理可实现的信号常常是时间t (或n)的实函数(或序列)，其在各时刻的函数(或序列)值为实数，称它们为实信号；
函数（或序列）值为复数的信号称为复信号。
周期信号平均功率 = 直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和；也就是说，时域和频域的能量是守恒的，总平均功率 = 各次谐波的平均功率之和。
|Fn|2～ω绘成的线状图形，表示各次谐波的平均功率随频率的分布情况，称为功率谱系数。
9、傅里叶有限级数与最小方均误差：
设有限级数傅里叶级数为
，用
来逼近，那么误差函数为
，方均误差为
。
如果完全逼近，则项数n=∞。
10、对于周期信号f(t)=f(t+nT) ，当其满足狄氏条件时，可展成：
基本信号
。
可见，ejωt通过线性系统后响应随时间变化服从e-jωt ， H(jω)相当加权函数。
H(jω)为h(t)的傅立叶变换，也称为系统频率特性或系统函数。
第三节 典型周期信号的傅里叶级数
频谱的特点
频谱结构
频带宽度
能量分布
1、本节以周期矩形脉冲信号为例进行分析，其脉冲宽度为τ，脉冲高度为E，周期为T1。
1）包络线形状为抽样函数；
2）其最大值在n=0处，为Eτ/T1；
3）离散谱（谐波性）；
4）第一个零点坐标为2π/τ；
5）F（nω1）是复函数。
2、
。
矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点：离散性、谐波性、收敛性。
第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）；由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。
周期矩形脉冲信号的功率
。
3、在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。
对于一般周期信号，将幅度下降为
的频率区间定义为频带宽度。
第四节 傅里叶变换
傅里叶变换
傅里叶变换的表示
傅里叶变换的物理意义
傅里叶变换存在的条件
1、傅里叶变换对
：
由f（t）求F（ω）称为傅里叶变换：
F（ω）一般为复信号可表示为：
，其中幅度频谱
、相位频谱
。
由F（ω）求f（t）称为傅里叶反变换：
2、傅里叶变换可表示为不同的形式：
实部为偶函数
，虚部为奇函数
；摸为偶函数
，相位为奇函数
。
其意义为无穷多个频域范围为0→∞、振幅为无穷小
的连续三角函数之和；或者无穷多个频域范围为-∞→+∞、振幅为无穷小
的连续指数函数之和。
3、傅里叶变换存在的条件：
，即f（t）绝对可积。
第五节 典型非周期信号的傅里叶变换
矩形脉冲
单边指数信号
直流信号
符号函数
升余弦脉冲信号
1、矩形脉冲信号
幅度频谱
，相位频谱
。
2、单边指数信号
幅度频谱
，相位频谱
。
3、直流信号
（
）
