信号与系统学习笔记——连续系统的时域分析

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    信号与系统

                                                 信号——>系统——>响应

      信号、系统以及响应三者贯穿信号与系统整本书。

     信号涉及的概念十分广泛,人与外部世界不断地交换信息,在信息传递中,随着参数变化的物理量即可定义为信号。因此,信号是信息的具体表现形式,信息是信号的具体内容,互为表里。根据信号的静态特性,可分为确定信号与随机信号、连续信号与离散信号、周期信号与非周期信号等;信号的动态特性,信号运算中包括,信号时移、反折与尺度变换;基本的典型信号,分两大类,一类:斜变信号、阶跃信号、冲激信号以及冲激偶信号;二类:正弦余弦信号、指数信号以及复指数信号。其中,冲激函数尤为重要,其特性主要包括三类,广义函数定义特性、抽样特性以及尺度变换特性。

     系统主要分为连续系统与离散系统,它们分别使用微分方程与差分方程描述,其系统函数主要为时域与变换域(频域、复频域、z域等)。系统有三大基本特性,线性系统、时不变系统以及因果系统,当然还包括其他很多特性,如稳定性、可逆性、记忆性等。一般我们的研究领域,属于线性时不变系统。

     LTI系统的响应,从经典解的角度出发,(1)齐次解,代表系统的自身特性;(2)特解,取决于外加激励信号;(3)初始条件,代表整个系统的初始状态。因此,系统的输出响应,由系统的自身特性,激励信号以及系统初始状态共同决定。从卷积解的角度触发,LTI系统响应分为零输入响应与零状态响应。此处,冲激响应的概念引入,尤为重要,它架构起了卷积积分与零状态响应的桥梁。

   连续系统的时域分析

      系统的时域分析中,有经典法与卷积法。经典法便于理解,但是在求特解步骤,由于数学常规求特解的局限性,不具通用。因此,卷积法才是我们要研究的重点。在卷积法的时域分析中,冲激信号与阶跃信号占据着核心地位。任何复杂的连续信号,都可以看成由无数个冲激信号或者阶跃信号叠加而成,从而引出了著名的卷积公式。

       卷积公式的外在形式,不过是一个以t为自变量,以τ 为积分变量的广义积分;而其本质代表着一个以t为自变量的复杂信号的分解形式。而此时,想引入卷积公式来求解TLI系统的响应。因此,将输入信号分解无数个冲激信号的叠加,将卷积公式中的冲激函数变换成冲激响应,求解卷积积分后,便可以求得最终系统的响应。但此时出现了两个问题,便是冲激响应的求解与卷积积分的求解。经我计算经验所得,冲激响应必须为零状态响应(此时f(n-1)(0+)=1,其余项f(0+)=0),冲激响应才会为正常状态。即信号与系统引入了冲激响应的定义,系统在单位冲激信号激励下产生的零状态响应。因此,从卷积解的角度,将TLI系统响应分为了零输入响应与零状态响应。引入冲激响应,联系卷积积分求解零状态响应。

     由此可见,卷积公式外在朴实无华,其实质有两大特性,其一代表一个复杂信号的分解形式,其二通过冲激响应可以求解一个TLI系统中的零状态响应。

     冲激响应的计算步骤:

   (1)引入一个单位冲激输入的方程,求得单位冲激输入零状态响应h1(t);

   (2)将h1(t)与微分方程右边方程式(冲激输入)作卷积得到冲激响应h(t)。

    卷积积分的计算:

   (1)按定义求解,使用E(t)阶跃函数代替分段,使其连续方便使用定义求解;

   (2)图解法,需要分段讨论,适合求解单个值或某段卷积值;

   (3)利用性质求解,卷积符合交换律、结合律、分配律以及时移,在符合导数积分等于原函数的情况下,微分和积分在卷积中可以交换恒等。

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第二章(连续时间系统的时域分析之二)

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