洛谷 1290 欧几里德的游戏

Posted 2020-08-23 日拱一卒 功不唐捐

https://www.luogu.org/problem/show?pid=1290

题目描述

欧几里德的两个后代Stan和Ollie正在玩一种数字游戏，这个游戏是他们的祖先欧几里德发明的。给定两个正整数M和N，从Stan开始，从其中较大的一个数，减去较小的数的正整数倍，当然，得到的数不能小于0。然后是Ollie，对刚才得到的数，和M，N中较小的那个数，再进行同样的操作……直到一个人得到了0，他就取得了胜利。下面是他们用(25，7)两个数游戏的过程：

Start：25 7

Stan：11 7

Ollie：4 7

Stan：4 3

Ollie：1 3

Stan：1 0

Stan赢得了游戏的胜利。

现在，假设他们完美地操作，谁会取得胜利呢？

输入输出格式

输入格式：

第一行为测试数据的组数C。下面有C行，每行为一组数据，包含两个正整数M, N。（M, N不超过长整型

输出格式：

对每组输入数据输出一行，如果Stan胜利，则输出“Stan wins”；否则输出“Ollie wins”

输入输出样例

输入样例#1：

2
25 7
24 15

输出样例#1：

Stan wins
Ollie wins

注意题目中说的，假设他们完美的操作。
什么是完美的操作呢？就是每个人都想让自己赢。
题目中说的是减去正整数倍，那么减去的倍数不同，最终赢的人也不同。那么最终赢的人跟减去的倍数有没有关系呢?
以样例 25 7为例：
第一步Stan 有3种选择，-7  -14  -21
① 若 减去1*7：                         若减去2*7：              若减去3*7

Start：25 7                                        25 7                          25 7

Stan：18  7                                        11 7                          4 7

Ollie：  11 7  或 4 7                               4 7                           3 4

Stan： 4  7   或 3 4                              3 4                            1 3

Ollie：  4  3   或  1 3                              1 3                           1 0

Stan：  1 3   或 1 0                               1 0                        Ollie赢得了游戏的胜利。

Ollie：   1 0    或 Stan赢得了游戏的胜利。 Stan赢得了游戏的胜利。

Ollie赢得了游戏的胜利。

标红色的地方表示选择方法有大于等于2种

由此可见，当每次减的倍数大一倍时，赢得步骤会比上一次靠前一步，赢得人会跟上一个人不一样。

同时可以深入推测，奇数倍和奇数倍的结果一样，偶数倍和偶数倍的结果一样。

所以我们可以推出，若到了某一步，这个人减数的方案有大于等于2种，那么在完美操作下就是这个人赢。因为它减奇数倍若输，那么减偶数倍就能赢，反之也成立。也就是说他总能找到一种方，再给对方赢得机会前自己赢。

什么是赢得机会？

如果较大的数只能减去较小的数的一倍，那么这个人有且只有一种选择方案，他不能左右自己赢还是输。如果较大的数能减去较小的数大于等于2倍，由上面得出，他就可以先决定自己赢还是输。注意是先决定。

所以本题的答案是：1、设m，n为输入数据且m>n，第一个满足条件m-n>n的步骤所对应的人为胜利者

                          2、m%n==0时的步骤所对应的人为胜利者。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m,c,z,a;
bool f;
void dfs(int x,int y,int p)
{
     if(f) return;
     if(x-y>y) 
     {
         f=true;a=p;
         return;
     }
     if(x%y==0) 
     {
         f=true;a=p;
         return;
     }
     dfs(y,x-y,(p+1)%2);
}
int main()
{
    scanf("%d",&c);
    for(int i=1;i<=c;i++)
    {
            scanf("%d%d",&n,&m);
            f=false;
            dfs(max(n,m),min(n,m),1);
            if(a==1) printf("Stan wins\n");
            else printf("Ollie wins\n");
    }
}