群论polya定理

Posted 2020-08-21

对Polya定理的个人认识

    我们先来看一道经典题目：

    He‘s Circles(SGU 294)

        有一个长度为N的环，上面写着“X”和“E”，问本质不同的环有多少个（不能旋转重复就称之为本质不同）

    输入样例：4

    输出样例：6

 

    那么要怎么办呢？暴力显然暴不出来……

    我们可以考虑使用置换群。

    我们有两种算法：

        ①Burnside引理：

             答案直接为1/|G|*(D(a1)+D(a2)+D(a3)+……+D(as))

             其中D(ak)为在进行置换群置换操作ak下不变的元素的个数。

             在N=4下一共有四个置换群：

             (1 2 3 4    (1 2 3 4    (1 2 3 4    (1 2 3 4

              1 2 3 4)    2 3 4 1)    3 4 1 2)    4 1 2 3)

             那么显然在置换a1下都不变，那么D(a1)=16 (4*4)

             EEEE和XXXX在置换a2下都不变，所以D(a2)=2

             XXXX和EEEE还有XEXE以及EXEX在置换a3下都不变，所以D(a3)=4

             XXXX和EEEE在置换a4的情况下都不变，D(a4)=2

             

             最后根据公式计算出1/|4|*(16+2+4+2)=6(种)

 

        ②Polya定理

             回顾上面的Burnside算法，是否感觉D不太好实现呢？

             那么我们就可以用一种更容易理解、适应力强、时间复杂度低、编程复杂度低的方法就是群论的最厉害的Polya定理

             其实Polya定理与Burnside引理本质上的区别并不是很大，只不过入手问题的角度不一样。

             我们可以发现，一个循环节之间的“不变元素”可以互相交换从而不影响整体，所以我们可以设Ci为置换群i的循环节个数。

             例如(1 2 3 4 5

                   3 5 1 4 2)

             的循环节就为：1和3循环1->3->1……

                                 2和5循环2->5->2……

                                 4和它自身循环4->4->4……

           那么循环节数就为3

           再回来看现在这个题目，我们可以抽象地把Ci替换掉Di

           那么Di=p^C(i) (p为总共的字母数)

           相同循环节中的元素可以互相置换，所以Di=p^C(i)

           polya公式为1/|G|(p^C(1)+p^C(2)+……+p^C(s))

           以4为例，则1/|G|=1/4

          C(1)：循环节为(1)(2)(3)(4)，所以C(1)=4

          C(2)：循环节为(4 3 2 1)，所以C(2)=1

          C(3)：循环节为(1 3)(2 4)，所以C(3)=2

          C(4)：循环节为(1 2 3 4)，所以C(4)=1

          那么答案就为1/4(2^4+2^1+2^2+2^1)=6

          这里的C相对于上面的D来说要简单，记得XJR学长给我讲过环的判定，直接任选一个没有选过的点，从这个点开始映射，走过的点标上1，等到再走到标上1时，结束，统计数加1

          

void search(int M){
	int i=M;//一开始从这里开始
	while(!flag[b[i]]){//如果它的映射没被访问过，那么说明它还没有构成环
		i=b[i];//继续映射
		flag[i]=1;//标记已访问
	}
	return ;//返回
}
int C(){
	int tmp=0;
	for(int i=1;i<=N;i++) if(!flag[i]) flag[i]=1,search(i),tmp++;//环数加1
	return tmp;//返回循环节数
}

　　那么我们再加上一个快速幂，就可以进一步优化。