平面最近点对(分治nlogn)

Posted 2020-08-21 Saurus

平面最近点对，是指给出平面上的n个点，寻找点对间的最小距离

首先可以对按照x为第一关键字排序，然后每次按照x进行分治，左边求出一个最短距离d1，右边也求出一个最短距离d2,那么取d=min(d1, d2)

然后只需考虑横跨左右两侧的点，不妨枚举左侧的点pi

那么很显然的是如果pi距离中间的点超过了d，便可以直接舍去，只需考虑距离中间点小于d的点

这样一来就可以对每个pi画一个边长为2d的正方形，易证，矩形内最多存在8个点。

那么关键问题就是要快速找这8个点

朴素做法是对分治后的点进行快排，这样复杂度就是nlognlogn

但是我们如果结合归并排序，每一次分治的过程顺带就按y归并排序，便可以把logn省掉了 （%%%想出做法的和鑫神犇）

代码如下

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
struct P
{
    int x, y;
    bool operator <(const P& B)const { return x < B.x; }
}p[100050];
int dis(P &A, P &B) { return (A.x-B.x)*(A.x-B.x) + (A.y-B.y)*(A.y-B.y); }
P Q[100050];
int Divide(int l, int r)
{
    if(l == r) return 1e7;
    int mid = (l+r)>>1, d, tx = p[mid].x, tot = 0;
    d = min(Divide(l, mid), Divide(mid+1, r));
    for(int i = l, j = mid+1; (i <= mid || j <= r); i++)
    {
        while(j <= r && (p[i].y > p[j].y || i > mid)) Q[tot++] = p[j], j++; //归并按y排序
        if(abs(p[i].x - tx) < d && i <= mid)  //选择中间符合要求的点
        {
            for(int k = j-1; k > mid && j-k < 3; k--) d = min(d, dis(p[i], p[k]));
            for(int k = j; k <= r && k-j < 2; k++) d = min(d, dis(p[i], p[k]));
        }
        if(i <= mid) Q[tot++] = p[i];
    }
    for(int i = l, j = 0; i <= r; i++, j++) p[i] = Q[j];
    return d;
}

int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin>>p[i].x>>p[i].y;
    sort(p+1, p+1+n);
    cout<<Divide(1, n)<<endl;
}

 

注意：这里只选了坐标为整数的点，而且范围较小，需要一定的更改才能使用